которое получено в предположении
,
что перемещения удовлетворяют
соотношению
(8),
а напряжения
—
соотношениям
(5), (7).
Кроме того
,
воспользуемся равенством
¯
ε
и
Z
0
¯
σ
и
(
τ
)
dτ
+
¯
σ
и
Z
0
¯
ε
и
(
ξ
)
dξ
= ¯
σ
и
¯
ε
и
,
полученным на основании того
,
что определенный интеграл равен пло
-
щади фигуры
,
находящейся под графиком функции
.
Из соотношений
(1)–(3)
следует
σ
ij
ε
ij
= ¯
σ
¯
εα
ij
β
ij
+
s
∗
ij
e
∗
ij
= ¯
σ
¯
ε
C
ijkl
α
kl
α
ij
C
ijkl
α
kl
α
ij
+
¯
σ
и
¯
ε
и
C
ijkl
e
∗
kl
e
∗
ij
3
K
∗
=
= ¯
σ
¯
ε
+
¯
σ
и
¯
ε
и
¯
ε
2
и
= ¯
σ
¯
ε
+ ¯
σ
и
¯
ε
и
.
В результате получим
E
(
u
i
) +
O
(
σ
ij
) =
=
Z
Ω
3
2
K
∗
(¯
ε
−
¯
ε
т
)
2
+
¯
ε
и
Z
0
¯
σ
и
(
τ
)
dτ
+
¯
σ
2
6
K
∗
+ ¯
ε
т
¯
σ
+
¯
σ
и
Z
0
¯
ε
и
(
ξ
)
dξ
dV
−
−
Z
Ω
b
i
u
i
dV
+
Z
S
1
w
i
u
i
dS
+
Z
S
2
σ
ij
n
j
¯
u
i
dS
=
=
Z
Ω
Ã
3
2
K
∗
(¯
ε
−
¯
ε
т
)
2
+
¯
σ
2
6
K
∗
+ ¯
ε
т
¯
σ
+ ¯
σ
и
¯
ε
и
−
σ
ij
ε
ij
!
dV
=
=
Z
Ω
µ
¯
σ
(¯
ε
−
¯
ε
т
)
2
+
¯
σ
(¯
ε
−
¯
ε
т
)
2
+ ¯
ε
т
¯
σ
+ ¯
σ
и
¯
ε
и
−
σ
ij
ε
ij
¶
dV
=
=
Z
Ω
(¯
ε
¯
σ
+ ¯
σ
и
¯
ε
и
−
σ
ij
ε
ij
)
dV
= 0
.
Поскольку доказано
,
что
E
(
u
i
)
≥
E
(
u
r
i
) =
Q
(
σ
r
ij
)
≥
Q
(
σ
ij
)
,
то таким образом показано
,
что полученные функционалы
(11)
и
(16)
образуют двойственную вариационную постановку задачи
(1)–(8)
де
-
формационной теории термопластичности анизотропного тела
.
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
53
