Двойственная вариационная постановка задачи деформационной теории термопластичности анизотропных тел - page 9

то окончательно имеем
∆E = Z
Ω µ 3
2
K ∗ ( δ ¯ ε и )2 +
∂ ¯ σ r
и
∂ ¯ ε r
и
( δ ¯ ε и )2 ¶dV . (12)
Для устойчиво деформируемых материалов при монотонной зави -
симости ¯ σи от ¯ ε и справедливо неравенство ∂ ¯ σr
и /∂ ¯εr
и > 0, поэтому со -
гласно равенству (12) имеем ∆E ≥ 0. Следовательно, функционал (11)
на действительном распределении перемещений достигает минимума.
Принцип минимума дополнительной работы . Получим принцип
минимума дополнительной работы для задачи (1)–(8). Рассмотрим ста-
тически возможные изменения δσij компонент тензора напряжений,
удовлетворяющие уравнениям равновесия ∂δσij /∂x j = 0 и граничным
условиям δσij nj = 0, налагаемым на напряжения на участке S1 ⊂ S .
Тогда δwi¯ ¯S 1
= δbi ≡ 0, и принцип дополнительной виртуальной рабо-
ты имеет вид [14]
Z
Ω
εij δσij dV = Z
S2
δσ ij nj ¯ uidS. (13)
Найдем такую функцию R, что
δR = ZΩ
ε ij δσij dV .
Для этого преобразуем выражение
δσij ε ij = ¡δs∗
ij + δ ¯σβij ¢ ¡e∗
ij + ¯εαij ¢ =
= δs∗
ij e∗
ij + δs∗
ij ¯εαij + δ ¯σβij e∗
ij + δ ¯σβij ¯ εαij , (14)
рассматривая каждое из его слагаемых отдельно и учитывая соотноше-
ния (1)–(3). По определению величины ¯ σи ее вариация имеет вид
δ ¯σи = q3K ∗ Bijkls ∗
klδs ∗
ij
pBijkl s∗
ij s∗
kl
.
Тогда получаем
δs∗
ij e ∗
ij = δs∗
ij s∗
kl
3K ∗ ¯ εи
¯σи
Bijkl =
= q3K ∗ Bijkls ∗
klδs∗
ij
¯ ε и
pBijkls ∗
ij s ∗
kl
= ¯ε иδ ¯ σи.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им . Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 1 49