Двойственная вариационная постановка задачи деформационной теории термопластичности анизотропных тел - page 5

¯ σи0 = q(3 K ∗B2222 − α 22 α22 ) σ22 Y σ22Y ,
¯ σи0 = q(3 K ∗B3333 − α 33 α33 ) σ33 Y σ33Y ,
¯ σи0 = 2q(3 K ∗B1212 − α 12 α12 )σ12 S σ12 S ,
¯ σи0 = 2q(3 K ∗B2323 − α 23 α23 )σ23 S σ23 S ,
¯ σи0 = 2q(3 K ∗B1313 − α 13 α13 )σ13 S σ13 S ,
α 12 = α 21 ,
α 23 = α 32 ,
α 13 = α 31 ,
α ij α ij = 1.
Принцип минимума полной энергии. Рассмотрим задачу механи-
ки деформируемого твердого тела в объеме Ω с границей S = ∂ Ω . На-
гружение принято квазистатическим, а деформации малыми. Предпо-
лагается, что трещинообразования или расслоения материала не проис-
ходит. Постановка задачи включает в себя соотношения (1)–(4), урав-
нения
∂σ ij
∂xj
+ bi = 0 , (5)
ε ij =
1
2 µ ∂u i
∂xj
+
∂uj
∂xi ¶ (6)
и граничные условия
σij nj = wi , S1 ⊂ S, (7)
ui = ¯ui , S2 = S \S1, (8)
где ui — компоненты вектора перемещений; bi — заданные компонен-
ты объемной нагрузки; wi — заданные компоненты поверхностной на-
грузки; ¯ ui — заданные компоненты вектора перемещений ; ni — компо-
ненты единичного вектора нормали к поверхности тела S = ∂ Ω.
Получим принцип минимума полной энергии для задачи (1)–(8).
Воспользуемся принципом виртуальной работы [11, 14]:
ZΩ
σij δεij dV − Z
Ω
biδui dV − Z
S1
wi δuidS = 0, (9)
где
δεij =
1
2 µ∂δu i
∂xj
+
∂δuj
∂x i ¶
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им . Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 1 45