Последнее слагаемое в выражении
(10)
принимает вид
¯
σβ
ij
δ
¯
εα
ij
= 3
K
∗
(¯
ε
−
¯
ε
т
)
δ
¯
εβ
ij
α
ij
=
= 3
K
∗
(¯
ε
−
¯
ε
т
)
δ
(¯
ε
−
¯
ε
т
)
C
ijkl
α
kl
α
ij
C
ijkl
α
kl
α
ij
=
3
2
K
∗
δ
µ
(¯
ε
−
¯
ε
т
)
2
¶
.
В результате
,
функция
Π
принимает следующий вид
:
Π =
Z
Ω
µ
3
2
K
∗
((
ε
ij
−
ε
т
ij
)
β
ij
)
2
+
¯
ε
и
Z
0
¯
σ
и
(
τ
)
dτ
¶
dV.
Построим такую величину
E
,
что
δE
=
δ
Π
−
δ
µZ
Ω
b
i
u
i
dV
+
Z
S
1
w
i
u
i
dS
¶
= 0
.
Она имеет вид
E
(
u
i
) =
Z
Ω
µ
3
2
K
∗
(¯
ε
−
¯
ε
т
)
2
+
¯
ε
и
Z
0
¯
σ
и
(
τ
)
dτ
¶
dV
−
−
Z
Ω
b
i
u
i
dV
−
Z
S
1
w
i
u
i
dS.
(11)
Первый член в подынтегральном выражении объемного интеграла в
формуле
(11)
соответствует работе деформации при изменении объема
элементарного прямоугольного параллелепипеда
,
а второй
—
измене
-
нию его формы
.
По своему виду функционал
(11)
совпадает с соответ
-
ствующим функционалом для краевой задачи деформационной теории
термопластичности изотропных тел
,
полученным в работе
[11].
Функционал
(11)
может рассматриваться только на непрерывных
полях перемещений
,
удовлетворяющих граничным условиям
,
налага
-
емым на перемещения на участках
S
2
.
Легко доказать
,
что если поле напряжений удовлетворяет уравнени
-
ям равновесия и граничным условиям
,
налагаемым на напряжения
,
то
равенство
(9)
справедливо
.
Верно и обратное
:
из равенства
(9)
следуют
уравнения равновесия
(5)
и граничные условия
(7).
Следовательно
,
в
стационарной точке функционала
(11)
выполняются уравнения равно
-
весия и граничные условия
,
налагаемые на напряжения
.
Выясним характер стационарной точки функционала
(11).
Для
этого найдем разность его значений
,
соответствующих допустимым
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
47
