Двойственная вариационная постановка задачи деформационной теории термопластичности анизотропных тел - page 12

Также учтем , что
δ ¯ σи = δ ¯ σи
¯σr
и
¯σr
и
= q3K ∗ Bijkls ∗r
kl δs∗
ij
pBijkls ∗r
ij s∗r
kl ×
× q3K ∗ Bijkls∗ r
ij s ∗r
kl
¯ σr
и
= 3K ∗ Bijkl s∗r
kl δs∗
ij
¯ σ r
и
.
Для величины ∆O получим
∆O = ZΩ µ (¯σ + ¯σ r) δ ¯ σ
6K ∗ + ¯ε тδ ¯ σ − Ã ¯σr
3K∗ + ¯ε т! δ ¯σ¶dV +
+ Z
Ω µ− s∗r
kl
3K ∗ ¯εr
и
¯ σr
и
Bijklδs ∗
kl +
¯ σи Z
¯ σ r
и
¯εи ( ξ) dξ¶dV =
= Z
Ω µ (¯σ − ¯σr) δ ¯ σ
6K ∗ − s ∗r
kl
3K ∗ ¯ ε r
и
¯ σr
и
Bijklδs∗
kl +
¯σи Z
¯ σr
и µ ¯ ε r
и +
∂ ¯εr
и
∂ ¯ σr
и
δ ¯ σи ¶ d ¯σ¶dV =
= Z
Ω µ (δ ¯σ)2
6K ∗ + ¯εr
и Ãδ ¯σи − s∗ r
kl
3K ∗
¯ σr
и
Bijklδs ∗
kl! +
∂ ¯ εr
и
∂ ¯ σr
и
( δ ¯ σи )2 ¶dV =
= Z
Ω µ (δ ¯σ)2
6K ∗ +
∂ ¯ ε r
и
∂ ¯σr
и
(δ ¯σи ) 2¶dV ≥ 0.
Следовательно, функционал (15) на действительном распределении
перемещений достигает минимума.
Поскольку функционал O(σij ) на точном решении задачи достигает
минимума, то функционал
Q( σij ) = −O( σij ) =
= − Z
Ω
 ¯ σ2
6K ∗ + ¯ε т ¯ σ +
¯σи Z0
¯ ε и (ξ )dξ  dV + Z
S2
σij nj ¯ uidS (16)
на том же решении достигает максимума.
По своему виду функционал (16) совпадает с полученным в работе
[11] функционалом в напряжениях для краевой задачи деформацион-
ной теории термопластичности изотропных тел.
Покажем , что на точном решении задачи E = Q. Для доказатель-
ства воспользуемся равенством [11, 14]
ZΩ
σij ε ij dV = Z
Ω
bi uidV + Z
S1
w iuidS + Z
S2
σij nj ¯ uidS,
52 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 1