Двойственная вариационная постановка задачи деформационной теории термопластичности анизотропных тел - page 3

количественной оценки погрешности полученного с помощью пря-
мого функционала приближенного решения задачи. Встречный функ-
ционал является двойственным к исходному прямому и достигает на
точном решении задачи максимума. По разности значений прямого и
встречного функционалов на приближенных решениях можно найти
оценку погрешности приближенного решения в энергетической нор-
ме. Соответствующие функционалы для изотермического нагружения
приведены, в частности, в работах [13, 14]. В то же время, функци -
оналы для описания пластического деформирования анизотропных
сред в известной авторам литературе рассмотрены не были . Поэтому
целью настоящей работы является получение двойственной вариаци-
онной постановки задачи деформационной теории термопластичности
анизотропных тел.
Используемые определяющие соотношения . Рассмотрим гипоте-
зы деформационной теории термопластичности анизотропных тел, из-
ложенные на основе работ [6–8].
Аналог объемной деформации ¯ ε и аналог объемного напряжения ¯σ
связаны соотношением
¯ σ = 3 K∗ (¯ε − ¯ ε т), (1)
где ¯ ε = ε ij β ij , ¯σ = σij αij ; ε ij — компоненты тензора деформации;
βij = C ijk αkl /(3K ∗ ) — компоненты тензора второго ранга; Cijkl — ком -
поненты тензора упругих постоянных; K ∗ = Cijkl αkl α ij /3 — аналог
модуля всестороннего сжатия; α ij — компоненты симметричного тен -
зора, удовлетворяющие условию α ij α ji = 1 ; σij — компоненты тензора
напряжений; ¯ ε т = ε т
ij β ij ; ε т
ij = ∆Th ij — компоненты тензора темпера -
турной деформации; hij — компоненты тензора коэффициентов линей-
ного расширения материала; ∆T — заданное изменение температуры
по сравнению с первоначальной.
Введем аналоги девиаторов и шаровых тензоров напряжений и де -
формации s ∗
ij , σ∗
ij , e∗
ij , ε∗
ij с помощью равенств
s∗
ij = σij − σ∗
ij , σ∗
ij = ¯σβij , e∗
ij = ε ij − ε∗
ij , ε∗
ij = ¯εαij . (2)
Обобщенные интенсивности напряжений
¯ σи = q3K ∗ Bijkl s∗
ij s∗
kl = q ¡3K ∗ Bijkl − α ij α kl¢ σij σkl,
где Bijkl = C − 1
ijkl , и деформаций ¯ ε и = qC ijkle ∗
ij e∗
kl /(3K ∗ ) в течение всего
процесса деформирования связаны между собой зависимостью
s∗
ij =
¯σи
3K ∗ ¯ εи
C ijkle ∗
kl. (3)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им . Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 1 43