и функции
u
(1)
0
(
τ
)
:
∂u
(1)
0
(
τ
)
∂τ
=
−
4ˉ
σ
в
ε
ср
e
−
3 ˉ
M
2
в
τ
d
(
A
)
0
3
u
(0)
0
(
τ
)
3
u
(1)
0
+
e
ˉ
M
2
в
τ
,
u
(1)
0
(
τ
)
τ
=0
= 0
.
(47)
Решая задачи Коши
(46)
и
(47),
получаем выражение для функции
u
0
(
τ
) =
u
0
(
x, y, τ
)
:
u
0
(
x, y, τ
) =
ˉ
M
2
/
3
в
e
ˉ
M
2
в
τ
r
1
/
3
+
ν
e
4 ˉ
M
2
в
τ
r
(
1 +
q
3
pe
3 ˉ
M
2
в
τ
−
ˉ
M
2
/
3
в
h
1 +
q
3
p
i
r
1
/
3
+
+
1
r
1
/
3
2
9
q
2
/
3
ln
( ˉ
M
2
/
3
в
+
q
1
/
3
)
2
|
( ˉ
M
4
/
3
в
−
ˉ
M
2
/
3
в
q
1
/
3
+
q
2
/
3
)
|
+
+
2
9
q
2
/
3
ln
|
r
2
/
3
−
r
1
/
3
q
1
/
3
+
q
2
/
3
| −
4
9
q
2
/
3
ln
|
r
1
/
3
+
q
1
/
3
|
+
4
3
√
3
q
2
/
3
×
×
arctg
ˉ
M
2
/
3
в
−
r
1
/
3
q
1
/
3
(2
q
1
/
3
−
ˉ
M
2
/
3
в
) +
r
1
/
3
(2 ˉ
M
2
/
3
в
−
q
)
1
/
3
)
+
O
(
ν
2
)
,
(48)
где
p
= ˉ
σ
в
ε
ср
d
(
A
)
0
3
+ ˉ
M
2
в
, q
= ˉ
σ
в
ε
ср
d
(
A
)
0
3
, r
=
pe
3 ˉ
M
2
в
τ
−
q.
(49)
Если подставить правую часть равенства
(48)
в дифференциальное
уравнение задачи Коши
(43),
в итоге получим линейное дифференци
-
альное уравнение первого порядка относительно функции
u
1
(
τ
)
.
Реше
-
ние этого уравнения
,
как известно
,
записывается в квадратурах
,
однако
из
-
за сложности аналитического выражения мы его выписывать здесь
не будем
.
Таким образом
,
нами доказана
Лемма
2
.
Пусть выполнены условия леммы
1
.
Тогда в случае
(
x, y, τ
)
2
(
A
0
1
)
для решения
u
(
x, y, τ
)
нерегулярной
краевой задачи
(27)
−
(31)
справедливо асимптотическое разложение
Пуанкаре вида
u
(
x, y, τ
) =
u
0
(
x, y, τ
) +
εu
1
(
x, y, τ
) +
O
(
ε
2
)
,
(50)
где
u
0
(
x, y, τ
)
—
решение задачи Коши
(42)
,
a
u
1
(
x, y, τ
)
—
решение
задачи Коши
(43)
.
Функции
u
0
(
x, y, τ
)
и
u
1
(
x, y, τ
)
не зависят отмалого
параметра
ε
,
вид асимптотики
u
0
(
x, y, τ
)
дается равенством
(48)
,
а
функция
u
1
(
x, y, τ
)
записывается в квадратурах
.
116
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
