Возвращаясь к решению нерегулярной нелинейной краевой задачи
(16) – (20),
используя леммы
1
и
2
и подставляя
(39), (50)
в
(21),
полу
-
чаем следующее
Утверждение
.
Пусть функция
Θ
0
(
x, y
)
имеет частные производ
-
ные
(
по аргументам
x
и
y
)
любого порядка и разлагается в ряд Тейлора
,
сходящийся к функции
,
по которой он построен
,
в любой точке
(
x, y
)
,
принадлежащей прямоугольнику
a
0
≤
x
≤
b, c
≤
y
≤
d
.
Тогда в случае
(
x, y, τ
)
2
(
A
0
1
)
для решения
Θ(
x, y, τ
)
нерегулярной
нелинейной краевой задачи
(16)
−
(20)
справедлива при
ε
1
асимпто
-
тика вида
Θ(
x, y, τ
) =
e
−
ˉ
M
2
в
τ
(
d
0
(
x, y, τ
) +
εd
1
(
x, y, τ
) +
O
(
ε
2
))
,
(51)
где
d
0
(
x, y, τ
) =
d
(
A
)
0
(
x, y
)
u
0
(
x, y, τ
)
,
d
1
(
x, y, τ
) =
d
(
A
)
0
(
x, y
)
u
1
(
x, y, τ
) +
d
(
A
)
1
(
x, y, τ
)
u
0
(
x, y, τ
)
.
(52)
Функции
d
(
A
)
0
(
x, y
)
, d
(
A
)
1
(
x, y, τ
)
, u
0
(
x, y, τ
)
выписаны в явном виде
;
функция
u
1
(
x, y, τ
)
записана в квадратурах
.
Все эти функции не за
-
висят от малого параметра
ε
(
см
.
(38)
и
(48))
.
Сравнение с аналогичными результатами других авторов
.
В ра
-
боте
[6]
при постановке задачи сначала отмечено
,
что при прохожде
-
нии прямоугольного импульса волны типа
TE
10
распределение в толще
диэлектрика прямоугольного окна плотности объемных источников те
-
пловой энергии
F
(
x, y
)
можно записать в следующем виде
:
F
(
x, y
) =
F
0
cos
2
2
πy
l
2
,
где
F
0
—
значение плотности объемных источников тепловой энер
-
гии в центре окна
.
Далее предполагается
,
что справедливо неравен
-
ство
l
2
l
1
(
l
1
и
l
2
—
размеры прямоугольного окна вывода энергии
),
“
поскольку решение двумерной нестационарной задачи теплопровод
-
ности вызывает большие трудности
”.
При таких допущениях
“
функ
-
ция
F
(
x, y
)
становится константой
F
0
, . . .
коэффициент температуро
-
проводности
a
полагаем постоянным
;
отдачей тепла путем конвекции
и излучением пренебрегаем
” [6].
Обозначая через
v
=
v
(
x, t
)
искомую температуру прямоугольного
окна вывода энергии
,
авторы статьи
[6]
записывают следующую одно
-
мерную линейную краевую задачу
:
∂v
∂t
−
a
∂
2
v
∂x
2
=
F
1
(
t
)
,
(53)
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
117
