∂
Θ(
x, y, τ
)
∂y
y
=
c, y
=
d
= 0
, a
0
≤
x
≤
b,
0
≤
τ
≤
1
,
(20)
где
Δ
—
двумерный оператор Лапласа
.
Решение сингулярно возмущенной нелинейной краевой за
-
дачи нестационарной теплопроводности
“
геометро
-
оптическим
”
асимптотическим методом
.
Будем искать решение уравнения
(16)
в
следующем виде
:
Θ(
x, y, τ
) =
u
(
x, y, τ
)
v
(
x, y, τ
)
.
(21)
Краевую задачу для функции
v
=
v
(
x, y, τ
)
сформулируем следую
-
щим образом
:
∂v
∂τ
=
ε
Δ
v
−
ˉ
M
2
в
v,
(22)
a
0
< x < b, c < y < d,
0
< τ <
1
, a
0
<
0
, c <
0
, b >
0
, d >
0
,
v
(
x, y, τ
)
τ
=0
= Θ
0
(
x, y
)
, a
0
≤
x
≤
b, c
≤
y
≤
d,
(23)
v
(
x, y, τ
)
x
=0
, y
=0
<
∞
,
0
≤
τ
≤
1
,
(24)
∂v
(
x, y, τ
)
∂x
x
=
a
0
, x
=
b
= 0
, c
≤
y
≤
d,
0
≤
τ
≤
1
,
(25)
∂v
(
x, y, τ
)
∂y
y
=
c, y
=
d
= 0
, a
0
≤
x
≤
b,
0
≤
τ
≤
1
.
(26)
С учетом соотношений
(22) – (26)
для функции
u
=
u
(
x, y, τ
)
полу
-
чаем следующую краевую задачу
:
v
∂u
∂τ
=
ε v
Δ
u
+ 2
∂u
∂x
∂v
∂x
+ 2
∂u
∂y
∂v
∂y
+ ˉ
M
2
в
Θ
к
+
ε
в
Q
ср
C
ср
−
ˉ
σ
в
ε
ср
u
4
v
4
,
(27)
a
0
< x < b, c < y < d,
0
< τ <
1
, a
0
<
0
, c <
0
, b >
0
, d >
0
,
u
(
x, y, τ
)
τ
=0
= 1
, a
0
≤
x
≤
b, c
≤
y
≤
d,
(28)
u
(
x, y, τ
)
x
=0
, y
=0
<
∞
,
0
≤
τ
≤
1
,
(29)
∂u
(
x, y, τ
)
∂x
x
=
a
0
, x
=
b
= 0
, c
≤
y
≤
d,
0
≤
τ
≤
1
,
(30)
∂u
(
x, y, τ
)
∂y
y
=
c, y
=
d
= 0
, a
0
≤
x
≤
b,
0
≤
τ
≤
1
.
(31)
Задача
(22) – (26) —
это линейная нерегулярная краевая задача
, a
задача
(27) – (31) —
это нелинейная нерегулярная краевая задача
,
по
-
скольку уравнение
(27)
содержит в качестве слагаемого неизвестную
функцию
u
(
x, y, τ
)
в четвертой степени
.
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
111
