Подставляя
(37)
в правую часть
(35),
получаем асимптотику Пуан
-
каре функции
v
(
x, y, τ
)
—
решения нерегулярной краевой задачи
(22)–
(26):
v
(
x, y, τ
)
e
−
ˉ
M
2
в
τ
∞
X
i
=0
ε
i
d
(
A
)
i
(
x, y, τ
)
.
(39)
Таким образом
,
нами доказана следующая
Лемма
1
.
Пусть функция
Θ
0
(
x, y
)
имеет частные производные
(
по
аргументам
x
и
y
)
любого порядка и разлагается в ряд Тейлора
,
сходя
-
щийся к функции
,
по которой он построен
,
в любой точке
(
x, y
)
,
при
-
надлежащей прямоугольнику
a
0
≤
x
≤
b
,
c
≤
y
≤
d
.
Тогда в случае
(
x, y, τ
)
2
(
A
0
1
)
для решения
v
(
x, y, τ
)
нерегуляр
-
ной краевой задачи
(22)
−
(26)
справедливо асимптотическое разложе
-
ние Пуанкаре вида
(39)
.
Коэффициенты
d
(
A
)
i
(
x, y, τ
)
асимптотическо
-
го разложения
(39)
не зависят от малого параметра
ε >
0
и вычисля
-
ются в явном виде
(
см
.
(38))
.
Теперь обратимся к нахождению асимптотики Пуанкаре решения
u
=
u
(
x, y, τ
)
нерегулярной задачи
(27) – (31),
по
-
прежнему предпола
-
гая
,
что справедливо включение
(
x, y, τ
)
2
(
A
0
1
)
.
Известно
,
что асимптотические разложения
,
полученные методом
Лапласа
,
можно дифференцировать
[13].
Поэтому уравнение
(27)
мож
-
но записать следующим образом
:
e
−
ˉ
M
2
в
τ
∞
X
i
=0
ε
i
d
(
A
)
i
(
x, y, τ
)
∂u
∂τ
=
ε e
−
ˉ
M
2
в
τ
∞
X
i
=0
ε
i
d
(
A
)
i
(
x, y, τ
)(Δ
u
)+
+ 2
e
−
ˉ
M
2
в
τ
∞
X
i
=0
ε
i
∂d
(
A
)
i
(
x, y, τ
)
∂x
∂u
∂x
+
+ 2
e
−
ˉ
M
2
в
τ
∞
X
i
=0
ε
i
∂d
(
A
)
i
(
x, y, τ
)
∂y
∂u
∂y
−
−
ˉ
σ
в
ε
ср
e
−
ˉ
M
2
в
τ
∞
X
i
=0
ε
i
d
(
A
)
i
(
x, y, τ
)
4
u
4
+ ˉ
M
2
в
Θ
к
+
ε
в
Q
ср
C
ср
.
(40)
Для нахождения асимптотик решения
u
=
u
(
x, y, τ
)
уравнения
(40)
используем метод неопределенных коэффициентов
,
часто при
-
меняющийся в теории возмущений
[12].
А именно
,
ограничиваясь
только двумя членами разложения функции в ряд Пуанкаре
,
решение
u
=
u
(
x, y, τ
)
можно записать в виде
u
≡
u
(
x, y, τ
) =
u
0
(
x, y, τ
) +
εu
1
(
x, y, τ
) +
O
(
ε
2
)
.
(41)
Подставляя
(41)
в уравнение
(40)
и ограничиваясь в разложении
функции
v
=
v
(
x, y, τ
)
тоже только двумя членами
,
приравнивая сомно
-
жители при одинаковых степенях малого параметра
ε >
0
и учитывая
114
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
