уравнениями
y
=
c
,
x
=
a
0
,
x
=
b
,
а также три оставшихся угловых
пограничных слоя
.
В статье
[7]
установлено
,
что наибольших значений температур
-
ное поле окна вывода энергии СВЧ достигает в центре окна
.
Поэтому
в настоящей работе авторы ограничились нахождением приближенно
-
го аналитического решения исследуемых нерегулярных краевых задач
в случае
,
когда
(
x, y, τ
)
2
(
A
0
1
)
.
Заметим
,
что
“
геометро
-
оптический
”
асимптотический метод позволяет находить приближенные аналитиче
-
ские решения нерегулярных краевых задач как в любом из погранич
-
ных слоев прямоугольника
a
0
≤
x
≤
b
,
c
≤
y
≤
d
,
так и в любом из его
угловых пограничных слоев
[9, 10].
Приближенные решения исследуемых нерегулярных краевых задач
при
ε
1
будем искать в виде их асимптотических разложений Пуан
-
каре
[13].
Итак
,
чтобы найти при
ε
1
асимптотику Пуанкаре решения
нерегулярной краевой задачи
(22) – (26),
сначала представим ее реше
-
ние
v
=
v
(
x, y, τ
)
в следующем виде
:
v
(
x, y, τ
) =
e
−
ˉ
M
2
в
τ
w
(
x, y, τ
)
.
(35)
Тогда для функции
w
=
w
(
х
,
у
, τ
)
получаем нерегулярную линейную
краевую задачу
,
которая отличается от краевой задачи
(22) – (26)
только
тем
,
что в дифференциальном уравнении для функции
w
(
x, y, τ
)
отсут
-
ствует слагаемое
−
ˉ
M
2
в
w
.
Обозначая через
Γ
II
(
x, y, τ
;
ξ, η, ζ
)
функцию
Грина этой краевой задачи
,
запишем ее решение в следующем инте
-
гральном виде
[14, 15]:
w
(
x, y, τ
) =
b
Z
a
0
d
Z
c
Θ
0
(
ξ, η
)Γ
II
(
x, y, τ
;
ξ, η,
0)
dξ dη.
(36)
К интегралу
,
стоящему справа в равенстве
(36),
применяем метод
Лапласа
[13].
Тогда
,
полагая функцию
Θ
0
(
x, y
)
достаточно гладкой и
разлагающейся в двойной ряд Тейлора
,
сходящийся к функции
,
по ко
-
торой он построен
,
получаем следующее асимптотическое разложение
Пуанкаре
[9, 10] (
для случая
(
x, y, τ
)
2
(
A
0
1
)
):
w
(
x, y, τ
)
∞
X
i
=0
d
(
A
)
i
(
x, y, τ
)
ε
i
, ε
→
0
.
(37)
В асимптотическом разложении
(37)
коэффициенты
d
(
A
)
i
(
x, y, τ
)
не
являются функциями малого параметра
ε
≥
0
и вычисляются в явном
виде
.
Например
:
d
(
A
)
0
(
x, y, τ
) = Θ
0
(
x, y
)
, d
(
A
)
1
(
x, y, τ
) =
τ
ΔΘ
0
(
x, y
)
.
(38)
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
113
