Полученное решение системы уравнений
(6)
позволяет найти рас
-
пределение вероятностей того
,
что в страховом портфеле компании бу
-
дут в момент времени
t
находиться
K
(
t
)
договоров
,
заключенных в
рамках анализируемого вида страхования
(
K
(
t
) =
k
= 0
,
1
,
2
, . . .
)
.
Зна
-
ние указанного распределения позволяет обратиться к вычислению со
-
вокупных страховых выплат на интервале
(
t
0
, t
)
.
Чтобы получить соответствующие формулы
,
вычислим сначала ма
-
тематическое ожидание числа страховых договоров
˜
K
(
t
)
,
находящихся
в страховом портфеле в момент времени
t
:
˜
K
(
t
) =
∞
X
k
=1
kp
k
(
t
0
, t
) = lim
x
→
1
∂
∂x
∞
X
k
=0
x
k
p
k
(
t
0
, t
) =
= lim
x
→
1
∂
∂x
ϕ
(
t
0
, t, x
) = lim
x
→
1
∂
∂x
e
−
(1
−
x
)
G
(
t
)
=
G
(
t
)
,
(35)
где
G
(
t
)
определяется формулами
(33)
и
(34).
Учитывая аддитивный характер вклада всех удерживаемых в порт
-
феле договоров в интенсивность совокупного потока договоров
,
поки
-
дающих портфель вследствие наступления страховых событий
,
опре
-
делим искомую интенсивность
μ
−
(
t
) =
λ
˜
K
(
t
) =
λG
(
t
)
.
(36)
Полагая
,
что этот поток является потоком пуассоновского вида с пе
-
ременным параметром
,
воспользуемся формулой
(3),
чтобы найти рас
-
пределение числа страховых событий на интервале
(
t
0
, t
)
.
Имеем
Λ
−
(
t
0
, t
) =
t
Z
t
0
μ
−
(
t
0
)
dt
0
,
q
i
(
t
0
, t
) =
e
−
Λ
−
(
t
0
,t
)
[Λ
−
(
t
0
, t
)]
i
i
!
, i
= 0
,
1
,
2
, . . . .
(37)
Теперь модель аккумуляции
,
выражающая функцию распределе
-
ния совокупных страховых выплат по страховым случаям на интервале
(
t
0
, t
)
,
записывается как сложно
-
пуассоновское распределение вида
R
(
w
;
t
0
, t
) =
q
0
(
t
0
, t
)
h
(
w
) +
∞
X
i
=1
q
i
(
t
0
, t
)
F
(
i
)
(
w
)
,
(38)
где
h
(
w
)
—
вырожденная функция распределения страховых выплат
,
соответствующая ситуации
,
когда не наступает ни одного страхового
104
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
3
