Чтобы найти зависимость
ϕ
от
t
и
x
,
следует
,
положив
t
(
s, z
) =
t
и
x
(
s, z
) =
x
в соотношениях
(21)
и
(22),
разрешить их относительно
s
и
z
.
Имеем следующую систему уравнений для определения
s
и
z
:
τ
0
(
z
) +
s
=
t,
1
−
(1
−
x
0
(
z
))
e
λs
=
x,
(24)
где
τ
0
(
z
)
и
x
0
(
z
)
определяются формулами
(18).
Вследствие отличия аналитических выражений для
τ
0
(
z
)
и
x
0
(
z
)
при отрицательных и положительных значениях
z
следует рассмотреть
отдельно каждый из случаев
z <
0
и
z
≥
0
.
В силу формул
(18)
имеем
τ
0
(
z
)
≡
0
и
x
0
(
z
) = 1 +
z
при
z <
0
.
Подставив эти выражения в систему уравнений
(24),
получим
s
=
t
−
t
0
,
z
=
−
e
−
λt
(1
−
x
)
.
(25)
Итак
,
каждой паре
(
t, x
)
в полосе
{
t
≥
0; 0
≤
x <
1
}
при условии
отрицательности параметра
z
соответствует пара
(
s, z
)
,
определяемая
формулами
(25).
Аналогично
,
если
z
≥
0
,
то
τ
0
(
z
) =
z
и
x
0
(
z
) = 1
,
и в силу соотно
-
шений
(24)
имеем
z
+
s
=
t
−
t
0
,
x
= 0
,
(26)
что свидетельствует
,
во
-
первых
,
о невозможности однозначного отыс
-
кания пары
(
s, z
)
,
во
-
вторых
,
о том
,
что случай
z
≥
0
соответствует
ситуации
x
≡
1
,
которая
,
очевидно
,
не представляет практического ин
-
тереса
,
поскольку в этом случае линия
,
через которую проводится ин
-
тегральная поверхность
(14),
совпадает с одной из его характеристик
.
Действительно
,
в силу соотношений
(21)–(23)
имеем
t
(
t
0
, s, z
) =
t
0
+
z
+
s, z >
0
, s
≥
0
,
x
(
s, z
)
≡
1
,
ϕ
(
s, z
)
≡
1
,
(27)
т
.
е
.
характеристика
(27)
совпадает с отрезком линии
(18)
при
z
≥
0
.
В
последнем случае нарушено важное требование к линии краевых усло
-
вий
,
а именно эта линия не должна совпадать ни с одной из харак
-
теристик уравнения
(14)
и
,
как следствие
,
решение уравнения
(14)
с
краевыми условиями
(18)
при
z
≥
0
не может быть найдено одно
-
значно
.
Впрочем
,
случай
z
≥
0
можно не рассматривать
,
так как слу
-
чай
z <
0
полностью исчерпывает поставленную задачу
—
решение
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
3
101
