В самом деле
,
сложим левые и правые части уравнений
(6).
Имеем
d
dt
∞
P
k
=0
p
k
(
t
0
, t
) =
−
μ
(
t
)
p
0
(
t
0
, t
)
−
μ
(
t
)
∞
P
k
=1
p
k
(
t
0
, t
)+
μ
(
t
)
∞
P
k
=1
p
k
−
1
(
t
0
, t
)+
+
λp
1
(
t
0
, t
)
−
λ
∞
P
k
=1
kp
k
(
t
0
, t
)+
λ
∞
P
k
=1
(
k
+ 1)
p
k
+1
(
t
0
, t
)
.
После приведения подобных членов в последнем выражении полу
-
чаем
d
dt
"
∞
X
k
=0
p
k
(
t
0
, t
)
#
≡
0
,
(9)
откуда с учетом начальных условий
(7)
вытекает тождество
(8).
Интегрирование системы обыкновенных дифференциальных урав
-
нений
(6),
вообще говоря
,
может выполняться численными методами
,
однако эта система уравнений имеет две особенности
,
затрудняющие
применение для ее решения стандартных вычислительных методов
.
Во
-
первых
,
число уравнений в системе
(6)
может быть
,
в принци
-
пе
,
произвольно больш
´
им
.
Точнее
,
если в начальный момент времени
t
=
t
0
имеют место равенства
(7),
то по истечении некоторого времени
t
−
t
0
может оказаться
,
что
p
k
(
t
0
, t
) = 0
,
если
k > k
0
(
t
)
,
p
k
(
t
0
, t
)
>
0
,
если
0
≤
k
≤
k
0
(
t
)
,
где
k
0
(
t
)
—
заранее не известное число
,
определяемое в процессе ре
-
шения системы уравнений
(6).
С содержательной точки зрения
k
0
(
t
)
означает максимально возможное число договоров
,
которое находит
-
ся в страховом портфеле в момент времени
t
.
С математической точки
зрения
k
0
(
t
)
означает верхнюю границу области возможных значений
числа договоров в страховом портфеле
,
т
.
е
.
границу области
,
охвачен
-
ной процессом
“
диффузии
”
числа договоров
.
Во
-
вторых
,
имеет место значительный разброс коэффициентов си
-
стемы дифференциальных уравнений
(6).
Действительно
,
коэффици
-
енты при
p
k
(
t
0
, t
)
в правых частях системы уравнений
(6),
равные
kλ
,
возрастают по мере увеличения
k
,
что влечет за собой увеличение
скорости протекания переходных процессов по соответствующим пе
-
ременным при больших
k
.
Поскольку реальные значения
k
,
которые
могут фигурировать в системе уравнений
(6),
исчисляются сотнями и
даже тысячами
,
то приблизительно во столько же раз возрастает ско
-
рость протекания переходных процессов при предельных значениях
k
по сравнению со скоростью протекания процессов для
p
1
(
t
0
, t
)
.
Данное
96
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
3
