обстоятельство влечет за собой необходимость использования различ
-
ных шагов интегрирования для каждого из
k
уравнений системы
(6).
А именно
,
чем больше значение
k
,
тем более мелкий шаг интегриро
-
вания следует выбирать
.
Дробление временного шага в сочетании с
заранее непредсказуемым увеличением числа уравнений системы
(6)
обусловливает значительные вычислительные трудности ее численно
-
го интегрирования
.
Указанные трудности численного интегрирования
системы уравнений
(6)
делают целесообразной попытку их преодо
-
ления путем введения производящей функции дискретной случайной
величины
K
(
t
)
,
имеющей распределение
p
k
(
t
0
, t
)
,
k
= 0
,
1
,
2
, . . .
,
в мо
-
мент времени
t
,
и перехода к уравнению относительно производящей
функции
.
Данный прием успешно используется для решения системы
уравнений модели гибели и размножения в более простой ситуации
,
исследованной в работе
[2],
а в монографии
[3,
гл
. XVII]
при изучении
достаточно близкой к рассматриваемой модели линейного роста также
отмечается
,
что основной метод для нахождения явных решений урав
-
нений типа
(6)
состоит в выводе уравнений в частных производных для
производящей функции
.
Производящая функция случайной величины
K
(
t
)
записывается в виде бесконечного ряда
:
ϕ
(
t
0
, t, x
) =
∞
X
k
=0
x
k
p
k
(
t
0
, t
) =
p
0
(
t
0
, t
)+
∞
X
k
=1
x
k
p
k
(
t
0
, t
)
,
(10)
который
,
очевидно
,
сходится в круге единичного радиуса
|
x
|
<
1
и
обращается в силу тождества
(8)
в единицу при
x
= 1
,
т
.
е
.
ϕ
(
t
0
, t, x
)
x
=1
≡
1
8
t.
(11)
Наконец
,
в силу начальных условий
(7)
системы уравнений
(6)
имеем
ϕ
(
t
0
, t, x
)
t
=
t
0
≡
1
8
x.
(12)
Чтобы составить уравнение для
ϕ
(
t
0
, t, x
)
,
умножим
k
-
е уравнение
системы
(6)
на
x
k
и просуммируем левые и правые части полученных
уравнений
.
Имеем
∂
∂t
ϕ
(
t
0
, t, x
) =
−
μ
(
t
)
ϕ
(
t
0
, t, x
)
−
λ
∞
X
k
=0
kx
k
p
k
(
t
0
, t
)+
+
λ
∞
X
k
=0
(
k
+ 1)
x
k
p
k
+1
(
t
0
, t
) +
μ
(
t
)
∞
X
k
=1
x
k
p
k
−
1
(
t
0
, t
)
.
(13)
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
3
97
