Несомненное преимущество представления входящего потока тре
-
бований
(
потока страховых договоров
)
в форме
(1), (2)
состоит в воз
-
можности применения ставшей к настоящему времени классической
модели гибели и размножения
[2],
хорошо изученной в рамках теории
массового обслуживания
.
Обозначая
p
k
(
t
0
, t
)
вероятность того
,
что в
страховом портфеле страховой компании в момент времени
t
находятся
K
(
t
) =
k
= 0
,
1
, . . .
страховых договоров
,
запишем систему уравнений
модели гибели и размножения
,
описывающих динамику изменения во
времени вероятностей
p
k
(
t
0
, t
)
:
p
0
0
(
t
0
, t
) =
−
μ
(
t
)
p
0
(
t
0
, t
) +
λp
1
(
t
0
, t
)
,
p
0
1
(
t
0
, t
) =
−
(
λ
+
μ
(
t
))
p
1
(
t
0
, t
) + 2
λp
2
(
t
0
, t
) +
μ
(
t
)
p
0
(
t
0
, t
)
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
0
k
(
t
0
, t
) =
−
(
kλ
+
μ
(
t
))
p
k
(
t
0
, t
) + (
k
+ 1)
λp
k
+1
(
t
0
, t
)+
+
μ
(
t
)
p
k
−
1
(
t
0
, t
)
, k
= 2
,
3
, . . . .
(6)
Решение системы дифференциальных уравнений удовлетворяет на
-
чальным условиям
:
p
k
(
t
0
, t
0
) =
(
1
,
если
k
= 0
,
0,
если
k >
0
.
(7)
Заметим
,
что система дифференциальных уравнений
(6)
учитывает
лишь механизм прекращения действия страховых договоров вслед
-
ствие возникновения в соответствующих застрахованных объектах
страховых событий
,
за которыми следуют страховые выплаты и прекра
-
щение действия страхового договора
.
Другой механизм прекращения
действия договоров связан с истечением их срока действия
.
Иными
словами
,
система уравнений
(6)
описывает динамику распределения
вероятностей числа действующих договоров в страховом портфеле
при условии
t
0
≤
y
≤
t
0
+
T
c
,
где
T
c
—
срок действия договора
.
Случай
t > t
0
+
T
c
будет рассмотрен ниже
.
Прежде чем приступить к решению системы уравнений
(6)
с на
-
чальными условиями
(7),
отметим одно существенное свойство этого
решения
.
А именно
,
если начальное условие удовлетворяет равенству
∞
X
k
=0
p
k
(
t
0
, t
0
) = 1
,
то и для всех
t > t
0
имеет место тождество
∞
X
k
=0
p
k
(
t
0
, t
)
≡
1
.
(8)
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
3
95
