уравнения
(14)
относительно функции
ϕ
(
t
0
, t, x
)
и соответствующей ей
бесконечномерной системы обыкновенных дифференциальных урав
-
нений
(6).
Действительно
,
интегральная поверхность
,
соответствую
-
щая граничной линии
(18)
при
z <
0
,
в силу доказанного проходит
через кусок линии
(18)
при
z
≥
0
,
а следовательно
,
полученная инте
-
гральная поверхность удовлетворяет обоим краевым условиям рассма
-
триваемой задачи
.
Для получения соответствующих квадратурных формул перейдем
от параметрической записи решения уравнения
(14)
в виде
(21)–(23)
к
координатной
,
воспользовавшись для такого перехода формулами
(25).
Обозначив
G
(
t
) =
t
Z
t
0
μ
(
t
0
)
e
−
λ
(
t
−
t
0
)
dt
0
,
(28)
получаем
s
=
t
−
t
0
, z
=
−
e
−
λt
(1
−
x
)
, x
0
(
z
) = 1
−
e
−
λt
(1
−
x
)
,
x
(
s, z
)
z
=
−
e
−
λt
(1
−
x
)
= 1
−
e
−
λt
(1
−
x
)
e
λs
= 1
−
(1
−
x
)
e
−
λ
(
t
−
s
)
,
ϕ
(
s, z
)
s
=
t
z
=
e
−
λt
(1
−
x
)
= exp
−
t
Z
t
0
μ
(
t
0
)(1
−
x
)
e
−
λ
(
t
−
t
0
)
dt
0
=
e
−
(1
−
x
)
G
(
t
)
.
Или окончательно
:
ϕ
(
t
0
, t, x
) =
e
−
(1
−
x
)
G
(
t
)
.
(29)
Экспоненциальное выражение производящей функции
(29)
пред
-
ставим следующим образом
:
e
−
(1
−
x
)
G
(
t
)
=
e
−
G
(
t
)
e
xG
(
t
)
=
e
−
G
(
t
)
∞
X
k
=0
[
xG
(
t
)]
k
k
!
.
(30)
Из формул
(28)
и
(29)
следует
,
что найденное решение
ϕ
(
t
0
, t, x
)
,
во
-
первых
,
удовлетворяет дифференциальному уравнению
(14),
в чем
можно убедиться соответствующей подстановкой
,
во
-
вторых
,
удовле
-
творяет начальному
(12)
и граничному
(11)
условиям
.
Сравнивая формулы
(10)
и
(30),
приходим к следующим выражени
-
ям для
p
k
(
t
0
, t
)
:
p
k
(
t
0
, t
) =
e
−
G
(
t
)
[
G
(
t
)]
k
k
!
, k
= 0
,
1
,
2
, . . . .
(31)
Таким образом
,
распределение случайной величины
K
(
t
)
—
числа
страховых договоров
,
находящихся в страховом портфеле в момент
102
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
3
