больше
,
чем для медленного
.
Возникает линейный резонанс длинной
быстрой волны и моды медленного семейства с ненулевым волновым
числом
,
что позволяет предположить отсутствие классических уеди
-
ненных волн
—
решений
,
ответвляющихся от нулевого решения
,
в
быстром семействе
.
При отсутствии предварительных деформаций в
композите этот резонанс
,
однако
,
на нелинейном уровне не сохраняет
-
ся
,
и рассматриваемая модель допускает существование классических
уединенных волн
,
соответствующих как медленному
,
так и быстрому
семейству
.
В настоящей работе показано существование семейств уединенных
волн
—
решений
,
ответвляющихся от нулевого решения
(
состояния
покоя
)
системы
.
При этом
,
в отличие от случая отсутствия предва
-
рительных деформаций
,
в быстром семействе возникают обобщенно
-
уединенные волны
,
которые являются продуктом нелинейного резо
-
нанса классической уединенной волны и собственной моды
,
отвечаю
-
щей резонансному волновому числу
.
Постановка задачи
.
Рассмотрим плоские волны в слабо анизотроп
-
ной
,
слабо неоднородной
,
не ограниченной во всех направлениях упру
-
гой среде с постоянной плотностью
ρ
0
.
С этой средой связана декартова
лагранжева система координат
x
k
,
k
= 1
,
2
,
3
.
В результате деформации
точка с координатами
x
k
подвергается смещению
:
x
0
k
=
x
k
+
w
k
(
x
j
, t
)
,
k, j
= 1
,
2
,
3
.
Распространение плоской волны характеризуется зависи
-
мостью градиентов перемещений
u
ij
=
∂w
i
/∂x
i
и компонент тензора
деформаций
ε
ij
= (1
/
2)(
u
ij
+
u
ji
+
u
ij
u
ji
)
только от одной простран
-
ственной переменной
—
координаты
x
=
x
3
,
−∞
< x <
+
∞
,
и от
времени
t
.
Деформации
ε
11
,
ε
12
и
ε
22
могут быть ненулевыми посто
-
янными
,
при этом поворотом системы координат в плоскости волны
можно получить равенство
ε
12
= 0
.
Кроме того
,
будем полагать
,
что
ε
33
<< ε
3
j
,
j
6
= 3
,
т
.
е
.
рассмотрим квазипоперечные волны
,
для кото
-
рых существенно изменение только сдвиговых деформаций
ε
13
,
ε
23
и
градиентов перемещений
u
13
,
u
23
.
Упругий потенциал среды задается своим разложением по градиен
-
там перемещений
.
Ограничимся в этом разложении главными члена
-
ми
[6]:
Φ =
1
2
f
¡
u
2
13
+
u
2
23
¢
+
1
2
g
¡
u
2
23
−
u
2
13
¢
−
1
4
κ
¡
u
2
13
+
u
2
23
¢
2
;
(1)
здесь константа
f
определяется через упругие модули среды и посто
-
янные деформации
ε
11
и
ε
22
в плоскости фронта волны
;
g >
0
—
коэф
-
фициент анизотропии
,
вызванной наличием предварительных дефор
-
маций
ε
11
и
ε
22
;
коэффициент
κ
выражается через упругие модули сре
-
ды
[6].
58
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
3
