Тогда уравнения системы
(11)
после исключения
a
1
представим в виде
b
00
0
=
b
0
−
3
2
b
2
0
+
O
(
ν
)
,
(12)
где штрихом обозначено дифференцирование по
ζ
.
В главном прибли
-
жении по
ν
для
ν >
0
уравнение
(12)
имеет решение
b
0
= ch
−
2
µ
ζ
2
¶
+
O
(
ν
)
.
(13)
Следовательно
,
a
0
=
νν
−
ρ
0
2
κ
(
u
01
β
+
u
02
α
1
(
ν
−
))
ch
−
2
µ
1
2
r
νν
−
ρ
0
m
ξ
¶
+
O
¡
ν
2
¢
, a
1
= ˙
a
0
.
(14)
Более того
,
оказывается
,
что для малых
ν
решение
(14)
является точ
-
ным для полной системы
(11),
оно четно и экспоненциально убывает
на обеих бесконечностях
.
Обозначим через
a
∗
= (
a
∗
0
, a
∗
1
)
т
главную часть по
ν
в решении
(14).
Тогда для
ν
0
>
0
и достаточно малых
ν
∈
(0
, ν
0
]
существует семейство
солитонных решений
a
= (
a
0
, a
1
)
т
полной системы
(11).
Более того
,
верна следующая оценка
:
|
a
−
a
∗
|
6
c
0
ν
2
exp
³
−
σ
0
p
νν
−
ρ
0
m
−
1
|
ξ
|
´
,
(15)
где
c
0
зависит только от
ν
0
и некоторого
σ
0
<
1
.
Докажем это утверждение
.
Пусть
˜˜
b
0
—
малое нелинейное возмуще
-
ние решения
˜
b
0
=
ch
−
2
(
ζ/
2)
в уравнении
(12).
Уравнение
(12)
может
быть представлено в виде
M
˜
b
0
=
νN
(
b
0
, ν
)
,
(16)
где
M
=
d
2
dζ
2
−
1 + 3 ˜
b
0
,
N
(
b
0
, ν
)
—
четная функция для четных
b
0
(
в соответствии со свойством
обратимости исходных уравнений
),
N
(
b
0
, ν
)
6
c
,
константа
c
не зави
-
сит от
ν
для
ν
∈
(0
, ν
0
)
.
В соответствии с теоремой о неявной функции уравнение
(16)
имеет
единственное решение достаточно малой амплитуды
,
если оператор
M
является обратимым в подходящих функциональных пространствах
.
64
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
3
