Определим пространства экспоненциально убывающих функций
C
j
σ
,
j
= 0
,
1
,
2
,
σ <
1
,
следующим образом
:
C
j
σ
=
½
f
∈
C
j
(
R
)
,
sup
ζ
¯ ¯
exp(
σ
|
ζ
|
)
f
(
m
)
(
ζ
)
¯ ¯
<
∞
, m
6
j
¾
.
Введем обозначения
X
⊂
C
2
σ
и
Y
⊂
C
0
σ
для банаховых пространств
четных функций с нормами соответственно
k·k
X
и
k·k
Y
.
Докажем
,
что
уравнение
M
˜
b
0
=
f,
(17)
где
˜˜
b
0
∈
X
и
f
∈
Y
,
имеет единственное решение
.
Уравнение
(17)
имеет
вид
˜
b
00
0
−
˜
b
0
+ 3 ˜
b
0
˜
b
0
=
f.
(18)
Однородное уравнение
,
соответствующее уравнению
(18),
не име
-
ет фундаментальной системы решений в функциональном простран
-
стве
X
:
решение
γ
1
=
c
1
˜
b
0
0
является нечетным решением
(
константа
c
1
определяется из условия
γ
0
1
(0) = 1
),
а линейно независимое реше
-
ние
γ
2
=
c
2
γ
1
+
c
3
γ
1
R
γ
−
2
1
dζ
(
константы
c
2
и
c
3
определяются из усло
-
вий
γ
2
(0) = 1
,
γ
0
2
(0) = 0
)
является четным
,
однако возрастающим как
exp(
|
ζ
|
)
на обеих бесконечностях
.
Отсутствие фундаментальной систе
-
мы решений в
X
означает
,
что решение уравнения
(18)
единственно
,
если оно существует
.
Существование решения неоднородного уравне
-
ния
(18)
определяется по формуле
γ
=
γ
2
∞
Z
ζ
γ
1
fdζ
+
γ
1
ζ
Z
0
γ
2
fdζ.
(19)
Оценки для
k
γ
k
X
и
k
f
k
Y
,
из которых непосредственно следует оцен
-
ка
(15),
легко получаем из формулы
(19).
Выражение для главной части солитонного решения в физических
переменных находим по формуле
(10):
u
1
=
βa
0
,
u
2
=
α
1
(
ν
−
)
a
0
.
Обобщенно
-
уединенные волны
.
При
V
2
=
ν
+
−
ν
+
ν
имеем би
-
фуркацию
,
соответствующую резонансу длинной медленной и корот
-
кой быстрой волн
,
для которой на рис
. 2,
б
представлено измене
-
ние собственных значений матрицы
A
(
V
2
)
(
корней уравнения
(9)),
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
3
65
