Уравнения для величин
u
13
и
u
23
,
определяемые упругим потенци
-
алом
Φ
,
являются гиперболическими
:
ρ
0
∂
2
u
i
3
∂t
2
=
∂
2
∂x
2
µ
∂
Φ
∂u
i
3
¶
,
i
= 1
,
2
.
(2)
Возникновение дисперсионных членов в этих уравнениях возмож
-
но при переходе к описанию упругой среды с учетом неоднородно
-
стей
[3].
В настоящей работе в качестве таких неоднородностей будем
рассматривать включенные в упругую матрицу упругие стержни
,
па
-
раллельные оси
x
и однородно распределенные в среде
.
В этом случае
уравнения
(2)
модифицируются за счет слагаемых
,
отвечающих изгиб
-
ной энергии стержней
:
ρ
0
∂
2
u
i
3
∂t
2
=
∂
2
∂x
2
µ
∂
Φ
∂u
i
3
¶
−
m
∂
4
u
i
3
∂x
4
,
i
= 1
,
2
,
(3)
где
m >
0
—
постоянная
,
определяемая жесткостью стержня на изгиб
.
В настоящей работе рассмотрим случай предварительно деформи
-
рованного композита
:
при
x
→ ±∞
имеем
u
i
3
→
u
0
i
,
i
= 1
,
2
,
где
константы
u
01
и
u
02
характеризуют предварительную деформацию
u
13
и
u
23
соответственно
.
После подстановки в уравнения
(3)
u
i
+
u
0
i
вместо
u
i
3
,
где
u
i
—
воз
-
мущение
u
i
3
на фоне
u
0
i
,
i
= 1
,
2
,
введения автомодельной переменной
ξ
=
x
−
V t
,
где
V
—
постоянная скорость распространения волны
,
и
однократного интегрирования с использованием условий убывания на
бесконечности получим
m
ρ
0
¨
u
i
=
µµ
µ
i
−
3
κ
ρ
0
u
2
i
−
κ
ρ
0
u
2
0
j
−
V
2
¶
u
i
−
κ
ρ
0
u
3
i
−
3
κ
ρ
0
u
0
i
u
2
i
−
κ
ρ
0
u
i
u
2
j
−
−
2
κ
ρ
0
u
0
j
u
i
u
j
−
κ
ρ
0
u
0
i
u
2
j
−
2
κ
ρ
0
u
0
i
u
0
j
u
j
¶
,
i, j
= 1
,
2
, i
6
=
j
; (4)
здесь
µ
1
= (
f
−
g
)
/ρ
0
;
µ
2
= (
f
+
g
)
/ρ
0
;
точкой обозначается дифферен
-
цирование по
ξ
.
При отсутствии предварительной деформации
(
т
.
е
.
при
u
0
i
= 0
)
эти
сравнения имеют солитонные решения
[5].
Линейные резонансы
.
Для дальнейшего анализа приведем некото
-
рые свойства дисперсионного соотношения системы
(3).
Дисперсионное соотношение
,
получаемое в результате подста
-
новки в уравнения
(3)
выражений
u
1
=
A
1
exp(
i
(
kx
−
ωt
))
и
u
2
=
=
A
2
exp(
i
(
kx
−
ωt
))
,
имеет вид
µ
ω
2
−
m
ρ
0
k
4
−
ν
−
k
2
¶µ
ω
2
−
m
ρ
0
k
4
−
ν
+
k
2
¶
= 0
,
(5)
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
3
59
