Оценим чувствительность функции цели
(3),
оператора задачи
(7)
и
ограничения
(8)
к изменению параметра проекта
,
в качестве которого
рассматривается толщина диска
h
(
r
)
.
Рассмотрим два проекта дисков
,
имеющих толщины
h
1
(
r
)
и
h
2
(
r
) =
=
h
1
(
r
) +
v
(
r
)
.
Масса диска толщиной
h
2
будет отличаться на
δF
[
v
]
от массы диска
толщиной
h
1
,
δF
[
v
] = 2
π
b
Z
a
ρrvdr
=
b
Z
a
wvdr,
w
= 2
πρr.
(9)
Функционал
F
1
также изменяется при переходе от проекта
h
к про
-
екту
h
1
+
v
,
чт
o
в предположении малости
v
можно представить в виде
δF
1
[
v
] =
F
1
[
h
1
+
v
]
−
F
1
[
h
1
]
≈
b
Z
a
µ
∂
Φ
1
∂x
1
δx
1
+
∂
Φ
1
∂x
2
δx
2
+
∂
Φ
1
∂h
v
¶
dr,
(10)
где
{
δx
}
т
=
{
δx
1
, δx
2
}
—
вариация вектора
{
x
}
т
=
{
x
1
, x
2
}
.
Непосредственно оценить
δF
1
при варьировании толщины диска не
удается
,
так как в подынтегральное выражение явно входят вариации
δx
1
переменных состояния
x
i
,
i
= 1
,
2
,
для определения которых не
-
обходимо решать краевую задачу
(7)
при измененном профиле
h
i
(
r
) +
+
v
(
r
)
.
Отметим
,
что переход от вектора состояния
{
x
}
к вектору
{
x
+
+
δx
}
следующим образом изменит операторное уравнение
(7):
[
J
]
½
x
1
+
δx
1
x
2
+
δx
2
¾
−
½
c
1
c
2
¾
+
∂
∂h
[
J
]
½
x
1
x
2
¾
δh
−
∂
∂h
½
c
1
c
2
¾
δh
= 0
.
(11)
Исключая из равенства
(11)
уравнение
,
соответствующее начально
-
му состоянию
(
{
x
}
, h
)
,
получим уравнение в вариациях и граничные
условия
:
[
J
]
½
δx
1
δx
2
¾
+
∂f
1
∂h
∂f
2
∂h
δh
= 0
,
(12)
α
1
δx
1
(
a
) +
β
1
δx
2
(
a
) = 0
,
α
2
δx
1
(
b
) +
β
2
δx
2
(
b
) = 0
,
(13)
26
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
