где
(
l
1
, l
2
, l
3
, l
4
)
т
=
−
S
−
1
C
т
= (
−
4
θ,
−
6
θ
2
,
−
4
θ
3
,
−
θ
4
)
т
.
Заметим
,
что для системы
(37)
и наблюдателя
(41)
выполнены пред
-
положения
1
и
2.
Управление в виде обратной связи по состоянию
,
гло
-
бально экспоненциально стабилизирующее заданное положение рав
-
новесия
x
= 0
,
u
= 0
аффинной системы
(37) (
без выхода
),
можно
найти
,
например
,
с помощью метода нелинейной стабилизации
,
пред
-
ложенного в работе
[21],
поскольку эта система во всем пространстве
состояний эквивалентна регулярной системе канонического вида
,
так
-
же определенной во всем ее пространстве состояний
.
Преобразование
аффинной системы
(37)
к каноническому виду определяется функцией
ϕ
(
x
) =
x
1
.
Дифференцируя эту функцию в силу системы
(37),
находим
новые переменные для записи системы канонического вида
:
z
1
=
x
1
, z
2
= ˙
z
1
=
x
2
, z
3
= ˙
z
2
=
−
M
1
sin
x
1
−
k
1
(
x
1
−
x
3
)
,
z
4
= ˙
z
3
=
−
M
1
x
2
cos
x
1
−
k
1
x
2
+
k
1
x
4
.
(42)
В переменных
z
=
{
z
1
, z
2
, z
3
, z
4
}
система
(37) (
без выхода
)
имеет
канонический вид
˙
z
1
=
z
2
,
˙
z
2
=
z
3
,
˙
z
3
=
z
4
,
˙
z
4
=
f
(
z
) +
k
1
u
J
,
(43)
где
f
(
z
) =
−
k
2
M
1
sin
z
1
−
M
1
cos
z
1
(
z
3
+
b
1
z
2
) +
M
1
z
2
2
sin
z
1
−
(
k
1
+
+
k
2
)
z
3
−
b
1
z
2
k
1
−
b
1
z
4
.
Соотношение
z
=
µ
−
1
(
x
)
,
задаваемое формулами
(42),
разрешимо
относительно
x
,
x
=
µ
(
z
)
,
и задает отображение
,
являющееся диффео
-
морфизмом пространств
R
4
=
{
z
}
и
R
4
=
{
x
}
,
причем
z
=
µ
−
1
(
x
)
и
x
=
µ
(
z
)
таковы
,
что
µ
−
1
(0) = 0
и
|
z
|
=
|
µ
−
1
(
x
)
| ≤
γ
1
|
x
|
,
|
x
|
=
|
µ
(
z
)
| ≤
γ
2
|
z
|
∀
z
∈
R
n
,
∀
x
∈
R
n
,
где
γ
1
,
γ
2
—
некоторые положительные константы
.
Поэтому задача
глобальной экспоненциальной стабилизации положения равновесия
x
= 0
,
u
= 0
системы
(37)
эквивалентна аналогичной задаче для
положения равновесия
z
= 0
,
u
= 0
системы
(43).
Непрерывно диффе
-
ренцируемой обратной связью
,
глобально экспоненциально стабили
-
зирующей положение равновесия
z
= 0
,
u
= 0
системы
(43),
является
u
∗
(
z
) =
Jk
−
1
1
Ã
−
f
(
z
)
−
3
X
i
=0
κ
i
z
i
+1
!
,
(44)
где
κ
i
—
постоянные
,
i
= 0
,
3
.
Замкнутая этим управлением система
(43)
принимает вид
˙
z
1
=
z
2
,
˙
z
2
=
z
3
,
˙
z
3
=
z
4
,
˙
z
4
=
−
κ
0
z
1
−
κ
1
z
2
−
κ
3
z
3
−
κ
4
z
4
.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
57
