d
—
коэффициент демпфирования
;
M
—
масса звена манипулятора
;
MgL
sin
x
1
—
момент сил тяжести
,
действующий на звено манипуля
-
тора
.
Предполагается
,
что измерению доступна только угловая координа
-
та
x
3
вала двигателя
.
Необходимо построить управление
u
в виде обрат
-
ной связи
,
использующей только значения выхода системы
,
стабилизи
-
рующее положение равновесия
x
= 0
,
u
= 0
системы
(37).
Построим для системы
(37)
наблюдатель и управление в виде обрат
-
ной связи по оценке состояния замкнутой системы построенным на
-
блюдателем
.
При построении наблюдателя для системы
(37)
использу
-
ем для удобства новые переменные
χ
1
=
x
3
, χ
2
=
x
4
, χ
3
=
k
2
x
1
−
k
2
x
3
−
b
1
x
4
,
χ
4
=
−
k
2
b
1
x
1
+
k
2
x
2
+
k
2
b
1
x
3
+ (
b
2
1
−
k
2
)
x
4
.
(38)
Замена переменных
x
= Φ(
χ
)
,
Φ(0) = 0
,
определяемая соотношени
-
ями
(38),
является линейной и задает диффеоморфизм пространств
R
4
=
{
χ
}
и
R
4
=
{
x
}
.
В новых переменных
χ
систему
(37)
можно
представить следующим образом
:
˙
χ
1
=
χ
2
,
˙
χ
2
=
χ
3
+
u/J,
˙
χ
3
=
χ
4
−
b
1
u/J,
˙
χ
4
=
a
4
(
χ
) + (
b
2
1
−
k
2
)
u/J, y
=
χ
1
,
(39)
где
a
4
(
χ
)=
−
b
1
k
1
χ
2
−
(
k
1
+
k
2
)
χ
3
−
b
1
χ
4
−
k
2
M
1
sin((
k
2
χ
1
+
b
1
χ
2
+
χ
3
)
/k
2
)
.
Система
(39)
является частным случаем систем вида
(11),
и
,
сле
-
довательно
,
глобальный экспоненциальный наблюдатель для системы
(39)
можно построить
,
например
,
в виде
˙ˆ
χ
=
a
( ˆ
χ
) +
Bu
−
S
−
1
C
т
(
C
ˆ
χ
−
y
);
(40)
здесь
a
( ˆ
χ
) = ( ˆ
χ
2
,
ˆ
χ
3
,
ˆ
χ
4
, a
4
( ˆ
χ
))
т
;
B
= (0
,
1
/J,
−
b
1
/J,
(
b
2
1
−
k
2
)
/J
)
т
;
C
= (1
,
0
,
0
,
0)
;
квадратная матрица
S >
0
порядка
4
является реше
-
нием матричного уравнения
(13).
Далее
,
поскольку определяемая со
-
отношениями
(38)
замена переменных
x
= Φ(
χ
)
линейна
,
то система
(40),
записанная в переменных
ˆ
x
= Φ( ˆ
χ
)
,
является глобальным экспо
-
ненциальным наблюдателем для системы
(37)
и имеет вид
˙ˆ
x
1
= ˆ
x
2
+
µ
l
3
k
2
+
l
1
+
b
1
l
2
k
2
¶
(ˆ
x
3
−
x
3
)
,
˙ˆ
x
2
=
−
M
1
sin ˆ
x
1
−
k
1
(ˆ
x
1
−
ˆ
x
3
) +
µ
l
4
k
2
+
l
2
+
b
1
l
3
k
2
¶
(ˆ
x
3
−
x
3
)
,
˙ˆ
x
3
= ˆ
x
4
+
l
1
(ˆ
x
3
−
x
3
)
,
˙ˆ
x
4
=
−
b
1
ˆ
x
4
+
k
2
(ˆ
x
1
−
ˆ
x
3
)+
l
2
(ˆ
x
3
−
x
3
)+
1
Ju
,
(41)
56
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
