≤ −
" µ
l
−
k
(
c
3
γ
f
+
c
3
γ
F
)
2
4
c
4
¶
|
e
|
2
−
(
kc
3
γ
f
+
kc
3
γ
F
)
|
e
||
ˆ
x
−
x
∗
|
+
+
kc
4
|
ˆ
x
−
x
∗
|
2
#
−
k
(
c
3
γ
f
+
c
3
γ
F
)
2
4
c
4
|
e
|
2
.
Выделив в выражении
,
стоящем в квадратных скобках
,
полный ква
-
драт по
|
e
|
,
можно показать
,
что при
k <
2
c
4
l/
(
c
3
γ
f
+
c
3
γ
F
)
2
справедлива
оценка
˙
V
(ˆ
x
−
x
∗
, e
)
≤ −
λ
|
(ˆ
x
т
−
x
т
∗
, e
т
)
т
|
2
,
(29)
где
(ˆ
x
т
−
x
т
∗
, e
т
)
т
∈
R
2
n
,
λ >
0
—
некоторое положительное число
.
Заметим
,
что функция
W
(
e
) =
e
т
P e
является квадратичной формой
и удовлетворяет характерным оценкам
λ
min
(
P
)
|
e
|
2
≤
W
(
e
)
≤
λ
max
(
P
)
|
e
|
2
,
¯ ¯ ¯
∂W
(
e
)
∂e
¯ ¯ ¯
≤
2
λ
max
(
P
)
|
e
|
.
(30)
С помощью неравенств
(30)
и
(24) (
с учетом замены
x
на
ˆ
x
)
для
функции
V
(ˆ
x
−
x
∗
, e
)
получим следующие оценки
:
V
(ˆ
x
−
x
∗
, e
) =
kV
1
(ˆ
x
−
x
∗
) +
W
(
e
)
≤
≤
kc
2
|
ˆ
x
−
x
∗
|
2
+
λ
max
(
P
)
|
e
|
2
≤
c
0
2
|
(ˆ
x
т
−
x
т
∗
, e
т
)
т
|
2
,
(31)
V
(ˆ
x
−
x
∗
, e
)
≥
kc
1
|
ˆ
x
−
x
∗
|
2
+
λ
min
(
P
)
|
e
|
2
≥
≥
c
0
1
|
(ˆ
x
т
−
x
т
∗
, e
т
)
т
|
2
,
(32)
¯ ¯ ¯
∂V
(ˆ
x
−
x
∗
, e
)
∂
ˆ
x
¯ ¯ ¯
≤
kc
3
|
ˆ
x
−
x
∗
|
+ 2
λ
max
(
P
)
|
e
| ≤
≤
c
0
3
|
(ˆ
x
т
−
x
т
∗
, e
т
)
т
|
,
(33)
где
c
0
1
= min
{
kc
1
, λ
min
(
P
)
}
,
c
0
2
= max
{
kc
2
, λ
max
(
P
)
}
,
c
0
3
= max
{
kc
3
,
2
λ
max
(
P
)
}
.
Из полученных неравенств
(29)
и
(31)–(33)
согласно рабо
-
те
[13]
следует
,
что решение
ˆ
x
=
x
∗
, e
= 0
системы
(27)
глобально
экспоненциально устойчиво
.
Поскольку замена переменных
(26)
линейна
,
то положение равно
-
весия
x
=
x
∗
, e
= 0
системы
(23)
также глобально экспоненциаль
-
но устойчиво
.
Воспользовавшись этим фактом
,
получаем следующую
оценку для произвольного решения
x
(
t
)
системы
(1)
с управлением
u
=
u
(ˆ
x
) =
u
(
x
+
e
)
:
|
x
(
t
)
−
x
∗
|
=
|
x
(
t
)
−
ˆ
x
(
t
) + ˆ
x
(
t
)
−
x
∗
| ≤ |
ˆ
x
(
t
)
−
x
∗
|
+
|
ˆ
x
(
t
)
−
x
(
t
)
| ≤
50
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
