u
=
u
(
x
+
e
)
,
то решения системы
c
управлением
u
=
u
(
x
+
e
)
не могут
неограниченно возрастать за конечное время и для любых начальных
условий
x
(0)
определены при всех
t
≥
0
.
Далее рассмотрим задачу стабилизации положения равновесия
x
=
x
∗
,
u
=
u
∗
нелинейной динамической системы с управлением
,
имеющей вид
(1).
Предположение
1.
Отображение
f
:
R
n
×
R
m
→
R
n
непрерывно
дифференцируемо и глобально липшицево по
x
равномерно по
u
с кон
-
стантой
γ
f
,
т
.
е
.
|
f
(
x
1
, u
)
−
f
(
x
2
, u
)
| ≤
γ
f
|
x
1
−
x
2
|
для любых
x
1
, x
2
∈
R
n
.
Предположение
2.
Система
(1)
допускает построение экспоненци
-
ального наблюдателя
˙ˆ
x
=
g
(ˆ
x, h
(
x
)
, u
)
,
такого что уравнение ошибки
e
= ˆ
x
−
x
оценки наблюдателем состояния системы имеет вид
˙
e
=
g
(
x
+
e, h
(
x
)
, u
)
−
f
(
x, u
) =
F
(
e, u, t
)
,
F
(0
, u, t
) = 0
∀
u
∈
R
m
,
∀
t
≥
0
,
(21)
где отображение
F
:
R
n
×
R
m
×
R
+
→
R
n
кусочно непрерывно по
t
,
локально липшицево по
u
и глобально липшицево по
e
равномерно по
u
и
t
с константой
γ
F
.
При любом управлении
u
,
таком что решения
x
(
t
)
системы
(1)
при данном управлении для любых начальных значе
-
ний
x
(0)
определены при всех
t
≥
0
,
и произвольном решении
x
(
t
)
си
-
стемы
(1)
с данным управлением положение равновесия
e
= 0
системы
(21)
глобально экспоненциально устойчиво с квадратичной функцией
Ляпунова
W
(
e
) =
e
т
P e
,
P
=
P
т
>
0
,
производная которой в силу си
-
стемы
(21)
удовлетворяет при любом
e
∈
R
n
неравенству
˙
W
(
e
)
≤ −
l
|
e
|
2
, l
=
const
>
0
.
(22)
При управлении
u
,
таком что некоторое решение
x
(
t
)
системы
(1)
с данным управлением определен
o
только на конечном интервале вре
-
мени
t
∈
[0
, T
)
,
T >
0
,
решения
e
(
t
)
системы
(21)
при данных
u
и
x
(
t
)
для любых начальных значений
e
(0)
также определены на данном ин
-
тервале времени и удовлетворяют неравенству
(22).
Отметим
,
что для системы
(3)
предположения
1
и
2
выполняют
-
ся в случае
,
если
,
например
,
векторные поля
B
j
,
j
= 1
, m
,
посто
-
янны
,
вектор
-
функция
ψ
(
·
)
глобально липшицева
,
отображение
y
=
=
H
(
χ
1
n
1
, . . . , χ
p
n
p
)
обратимо во всем пространстве состояний
.
Для
систем вида
(8)
с непрерывно дифференцируемой правой частью и
вектор
-
функцией
ρ
(
y, u
)
,
глобально липшицевой по
y
равномерно по
u
,
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
47
