в случае существования матрицы
L
коэффициентов усиления
,
удовле
-
творяющей условиям теоремы
1,
и для систем вида
(11)
с непрерывно
дифференцируемой правой частью предположения
1
и
2
выполняются
автоматически
.
Заметим
,
что для системы
(15)
предположения
1
и
2
вы
-
полняются
,
когда правая часть системы непрерывно дифференцируе
-
ма
,
вектор
-
функция
ψ
(
·
)
глобально липшицева
,
вектор
-
функция
ρ
(
y, u
)
глобально липшицева по
y
равномерно по
u
,
линейное матричное не
-
равенство
(20)
разрешимо относительно
P
,
PL
,
K
и
ν
.
Решения рассматриваемой задачи стабилизации найдем в классе ло
-
кально липшицевых управлений вида
u
=
u
(ˆ
x
) =
u
(
x
+
e
)
(
здесь
ˆ
x
—
оценка состояния
x
системы с помощью наблюдателя
),
обеспечиваю
-
щих для любых начальных значений
x
(0)
и
e
(0)
определенность при
всех
t
≥
0
решений
x
(
t
)
системы
(1)
с управлением
u
=
u
(
x
+
e
)
.
Справедливы следующие утверждения
,
которые представляют со
-
бой принцип разделения для рассматриваемого класса систем
.
Теорема
3.
Пусть для системы
(1)
выполнены предположения
1
,
2
и существует непрерывно дифференцируемая обратная связь
u
(
x
)
по
состоянию
,
глобально экспоненциально стабилизирующая положение
равновесия
x
=
x
∗
, u
=
u
∗
системы
.
Тогда система
(1)
при управлении
u
=
u
(ˆ
x
) =
u
(
x
+
e
)
глобально асимптотически устойчива в точке
x
=
x
∗
.
Доказательство
.
Рассмотрим систему
˙
x
=
f
(
x, u
(
x
+
e
))
,
˙
e
=
F
(
e, u
(
x
+
e
)
, t
)
,
(23)
составленную из уравнений системы
(1) c
управлением
u
=
u
(
x
+
e
)
и уравнения
(21)
ошибки
e
= ˆ
x
−
x
оценки состояния
c
данным упра
-
влением
.
Предположим
,
что управление
u
=
u
(
x
+
e
)
принадлежит
рассматриваемому классу управлений
,
т
.
е
.
для любых начальных зна
-
чений
x
(0)
и
e
(0)
решения
x
(
t
)
,
e
(
t
)
системы
(23)
определены при всех
t
≥
0
.
Тогда согласно предположению
2
положение равновесия
e
= 0
системы
˙
e
=
F
(
e, u
(
x
+
e
)
, t
)
при произвольном решении
x
(
t
)
системы
(1)
с управлением
u
=
u
(
x
+
e
)
глобально экспоненциально устойчи
-
во с функцией Ляпунова
W
(
e
) =
e
т
P e
,
P
=
P
т
>
0
,
удовлетворяющей
неравенству
(22).
Поскольку по условиям теоремы система
(1),
замкнутая обратной
связью
u
(
x
)
,
глобально экспоненциально устойчива в точке
x
=
x
∗
и
правая часть системы
(1)
без выхода непрерывно дифференцируема
,
то
согласно теореме Н
.
Н
.
Красовского
[13]
существует функция Ляпунова
V
1
(
x
−
x
∗
)
,
такая что для любых
x
∈
R
n
выполнены соотношения
c
1
|
x
−
x
∗
|
2
≤
V
1
(
x
−
x
∗
)
≤
c
2
|
x
−
x
∗
|
2
,
48
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
