Основываясь на доказанном выше утверждении и известных ре
-
зультатах по стабилизации каскадных систем
[19],
сформулируем сле
-
дующую теорему
.
Теорема
4.
Пусть
1)
для системы
(1)
выполнено предположение
1;
2)
построен асимптотический наблюдатель
˙ˆ
x
=
g
(ˆ
x, h
(
x
)
, u
)
,
та
-
кой что уравнение ошибки
e
= ˆ
x
−
x
оценки наблюдателем состояния
системы
(1)
имеет вид
(21),
где отображение
F
:
R
n
×
R
m
×
R
+
→
R
n
кусочно непрерывно по
t
и локально липшицево по
e
и
u
,
|
F
(
e, u, t
)
| ≤
≤
ρ
(
|
e
|
)
∀
u
∈
R
m
,
∀
t
≥
0
,
ρ
(
s
)
—
некоторая непрерывная строго
возрастающая функция от
s
∈
R
+
,
ρ
(0) = 0
,
ρ
(
s
)
→ ∞
при
s
→ ∞
;
3)
при любом управлении
u
,
таком что решения
x
(
t
)
системы
(1)
при данном управлении для любых начальных значений
x
(0)
определе
-
ны при всех
t
≥
0
,
и при произвольном решении
x
(
t
)
системы
(1)
с
данным управлением положение равновесия
e
= 0
системы
(21)
с рас
-
сматриваемой правой частью глобально асимптотически устойчиво
;
при управлении
u
,
таком что некоторое решение
x
(
t
)
системы
(1)
с
данным управлением определен
o
только на конечном интервале време
-
ни
t
∈
[0
, T
)
,
T >
0
,
решения
e
(
t
)
системы
(21)
с рассматриваемой
правой частью при данных
u
и
x
(
t
)
для любых начальных значений
e
(0)
также определены на данном интервале времени и ограничены на нем
;
4)
существует непрерывно дифференцируемая обратная связь
u
(
x
)
по состоянию
,
глобально экспоненциально стабилизирующая положе
-
ние равновесия
x
=
x
∗
, u
=
u
∗
системы
(1).
Тогда система
(1)
при управлении
u
=
u
(ˆ
x
) =
u
(
x
+
e
)
глобально
асимптотически устойчива в точке
x
=
x
∗
.
Доказательство
теоремы основано на факте устойчивости отобра
-
жения вход
–
состояние системы
(1)
при управлении
u
=
u
(
x
+
e
)
,
где
u
(
x
)
соответствует формулировке теоремы
,
по отношению ко входу
e
,
генерируемому системой уравнений ошибки
e
= ˆ
x
−
x
оценки состоя
-
ния
c
управлением
u
=
u
(
x
+
e
)
.
Действительно
,
производную
˙
V
функ
-
ции
V
(ˆ
x
−
x
∗
) =
V
1
(ˆ
x
−
x
∗
)
,
где
V
1
(
x
−
x
∗
)
—
функция Ляпунова для
системы
(1),
замкнутой управлением
u
(
x
)
,
удовлетворяющую неравен
-
ствам
(24)
и
(25),
в силу системы
(35)
с рассматриваемой правой частью
можно представить следующим образом
:
˙
V
(ˆ
x
−
x
∗
) =
∂V
1
(ˆ
x
−
x
∗
)
∂
ˆ
x
f
(ˆ
x, u
(ˆ
x
))+
+
∂V
1
(ˆ
x
−
x
∗
)
∂
ˆ
x
(
f
(ˆ
x
−
e, u
(ˆ
x
))
−
f
(ˆ
x, u
(ˆ
x
)))+
+
∂V
1
(ˆ
x
−
x
∗
)
∂
ˆ
x
F
(
e, u
(ˆ
x
)
, t
)
≤ −
c
4
|
ˆ
x
−
x
∗
|
2
+
54
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
