¯ ¯ ¯
∂V
1
(
x
−
x
∗
)
∂x
¯ ¯ ¯
≤
c
3
|
x
−
x
∗
|
,
(24)
∂V
1
(
x
−
x
∗
)
∂x
f
(
x, u
(
x
))
≤ −
c
4
|
x
−
x
∗
|
2
,
(25)
где
c
1
, c
2
, c
3
, c
4
—
некоторые положительные константы
.
Линейная замена переменных
x
= ˆ
x
−
e, e
=
e
(26)
преобразует систему
(23)
к виду
˙ˆ
x
=
f
(ˆ
x
−
e, u
(ˆ
x
)) +
F
(
e, u
(ˆ
x
)
, t
)
,
˙
e
=
F
(
e, u
(ˆ
x
)
, t
)
.
(27)
Рассмотрим следующую положительно определенную функцию
:
V
(ˆ
x
−
x
∗
, e
) =
kV
1
(ˆ
x
−
x
∗
) +
W
(
e
)
>
0
,
(ˆ
x
−
x
∗
, e
)
6
= 0;
здесь
k
—
положительная константа
,
подлежащая определению
.
Про
-
изводная
˙
V
в силу системы
(27)
имеет следующий вид
:
˙
V
(ˆ
x
−
x
∗
, e
) =
k
∂V
1
(ˆ
x
−
x
∗
)
∂
ˆ
x
˙ˆ
x
+ ˙
W
(
e
) =
=
k
∂V
1
(ˆ
x
−
x
∗
)
∂
ˆ
x
f
(ˆ
x
−
e, u
(ˆ
x
)) +
k
∂V
1
(ˆ
x
−
x
∗
)
∂
ˆ
x
F
(
e, u
(ˆ
x
)
, t
) + ˙
W
(
e
) =
=
k
∂V
1
(ˆ
x
−
x
∗
)
∂
ˆ
x
f
(ˆ
x, u
(ˆ
x
))+
k
∂V
1
(ˆ
x
−
x
∗
)
∂
ˆ
x
(
f
(ˆ
x
−
e, u
(ˆ
x
))
−
f
(ˆ
x, u
(ˆ
x
)))+
+
k
∂V
1
(ˆ
x
−
x
∗
)
∂
ˆ
x
F
(
e, u
(ˆ
x
)
, t
) + ˙
W
(
e
)
.
Из неравенств
(22), (24), (25)
с учетом замены
x
на
ˆ
x
и условий те
-
оремы
3
следует
,
что
˙
V
(ˆ
x
−
x
∗
, e
)
≤ −
kc
4
|
ˆ
x
−
x
∗
|
2
+ (
kc
3
γ
f
+
kc
3
γ
F
)
|
e
||
ˆ
x
−
x
∗
| −
l
|
e
|
2
=
=
−
kc
4
µ
|
ˆ
x
−
x
∗
| −
c
3
γ
f
+
c
3
γ
F
2
c
4
|
e
|
¶
2
−
µ
l
−
k
(
c
3
γ
f
+
c
3
γ
F
)
2
4
c
4
¶
|
e
|
2
.
(28)
При
k <
4
c
4
l/
(
c
3
γ
f
+
c
3
γ
F
)
2
производная
˙
V
(ˆ
x
−
x
∗
, e
)
отрицательно
определена в пространстве
R
n
×
R
n
.
Далее
,
раскрыв квадрат разности
в правой части
(28),
представим неравенство
(28),
в следующем виде
:
˙
V
(ˆ
x
−
x
∗
, e
)
≤
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
49
