+
c
3
γ
f
|
e
||
ˆ
x
−
x
∗
|
+
c
3
ρ
(
|
e
|
)
|
ˆ
x
−
x
∗
|
.
При
|
ˆ
x
−
x
∗
| ≥
k
˜
ρ
(
|
e
|
)
,
где
˜
ρ
(
s
) =
γ
f
s
+
ρ
(
s
)
,
s
∈
R
+
,
k >
0
,
справедливо
неравенство
˙
V
(ˆ
x
−
x
∗
)
≤ −
(
c
4
−
c
3
k
)
|
ˆ
x
−
x
∗
|
2
.
Далее
,
аналогично доказательству утверждения
,
можно показать
устойчивость отображения вход
–
состояние системы
(1)
с управлени
-
ем
u
=
u
(
x
+
e
)
,
где
u
(
x
)
соответствует формулировке теоремы
,
по
отношению ко входу
e
,
генерируемому системой уравнений ошибки
e
= ˆ
x
−
x
оценки состояния
c
управлением
u
=
u
(
x
+
e
)
.
Поэтому для
любого
x
(0)
решения
x
(
t
)
системы
(1)
при управлении
u
=
u
(
x
+
e
)
удовлетворяют неравенству
(34).
Тогда согласно условиям теоремы по
-
ложение равновесия
e
= 0
системы
(21)
с управлением
u
=
u
(
x
+
e
)
глобально асимптотически устойчиво
.
Следовательно
,
согласно рабо
-
там
[18, 19]
положение равновесия
x
=
x
∗
системы
(1)
при управлении
u
=
u
(
x
+
e
)
глобально асимптотически устойчиво
.
Следствие
.
Пусть для нелинейной динамической системы вида
(1)
выполнено предположение
1
и найден закон управления в виде непре
-
рывно дифференцируемой обратной связи
u
(
x
)
по состоянию
,
глобаль
-
но экспоненциально стабилизирующей заданное положение равнове
-
сия
.
Если
e
—
некоторое асимптотически
(
в частности
,
экспоненци
-
ально
)
убывающее по времени возмущение
,
удовлетворяющее систе
-
ме уравнений
˙
e
=
F
(
e
)
,
где вектор
-
функция
F
(
·
)
локально липшицева
,
F
(0) = 0
,
|
F
(
e
)
| ≤
ρ
(
|
e
|
)
,
ρ
(
s
)
—
некоторая непрерывная строго возра
-
стающая функция от
s
∈
R
+
,
ρ
(0) = 0
,
ρ
(
s
)
→ ∞
при
s
→ ∞
(
в частно
-
сти
,
вектор
-
функция
F
(
·
)
глобально липшицева
),
а положение равнове
-
сия
e
= 0
системы
˙
e
=
F
(
e
)
глобально асимптотически
(
в частности
,
экспоненциально
)
устойчиво
,
то система
(1) c
управлением
u
=
u
(
x
+
e
)
глобально асимптотически устойчива
.
Пример
.
Рассмотрим гибкий однозвенный робот
-
манипулятор
,
уравнения движения которого имеют вид
[20]
˙
x
1
=
x
2
,
˙
x
2
=
−
M
1
sin
x
1
−
k
1
(
x
1
−
x
3
)
,
˙
x
3
=
x
4
,
˙
x
4
=
−
b
1
x
4
+
k
2
(
x
1
−
x
3
) +
u/J, y
=
x
3
,
(37)
где
x
1
, x
2
—
угловая координата и угловая скорость звена манипуля
-
тора
;
x
3
, x
4
—
угловая координата и угловая скорость вала двигателя
;
u
—
управляющий момент
,
создаваемый двигателем
.
Константы
M
1
,
b
1
,
k
1
,
k
2
,
J
положительны
,
причем
M
1
=
MgL/I
,
k
1
=
k/I
,
k
2
=
k/J
,
b
1
=
d/J
,
где
I
,
J
—
моменты инерции звена манипулятора и ротора
двигателя соответственно
;
k
—
жесткость передаточного механизма
;
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
55
