≤ |
(ˆ
x
т
(
t
)
−
x
т
∗
, e
т
(
t
))
т
|
+
|
e
(
t
)
| ≤
β
1
exp(
−
α
1
t
)
|
(ˆ
x
т
(0)
, e
т
(0))
т
−
−
(
x
т
∗
,
0
т
)
т
|
+
β
2
exp(
−
α
2
t
)
|
e
(0)
|
;
здесь
α
1
,
α
2
>
0
и
β
1
,
β
2
>
0
—
константы
.
Для этого решения выпол
-
нено неравенство
|
x
(
t
)
−
x
∗
| ≤
β
exp(
−
αt
)
∀
t
≥
0
,
где
β
= max
{
β
2
|
e
(0)
|
, β
1
|
(ˆ
x
т
(0)
, e
т
(0))
т
−
(
x
т
∗
,
0
т
)
т
|}
,
α
= min
{
α
1
, α
2
}
.
Следовательно
,
система
(1) c
управлением
u
=
u
(
x
+
e
)
глобально асим
-
птотически устойчива в точке
x
=
x
∗
,
что завершает доказательство
теоремы
3.
Замечание
.
Использованное при доказательстве теоремы
3
предпо
-
ложение о том
,
что управление
u
(
x
+
e
)
,
где
u
(
x
)
соответствует форму
-
лировке теоремы
3,
обеспечивает существование при всех
t
≥
0
реше
-
ний
x
(
t
)
,
e
(
t
)
системы
(23)
для любых начальных значений
x
(0)
и
e
(0)
,
верно всегда при выполнении условий теоремы
3.
Действительно
,
если некоторое решение
x
(
t
)
,
e
(
t
)
системы
(23)
определено только на конечном интервале времени
t
∈
[0
, T
)
,
T >
0
,
то соответствующее решение
ˆ
x
(
t
)
,
e
(
t
)
системы
(27)
в силу замены
переменных
(26)
также определено на данном интервале времени
.
Со
-
гласно предположению
2
для
e
(
t
)
при любом
t
∈
[0
, T
)
выполнены
неравенства
(22), (30).
Тогда для решения
ˆ
x
(
t
)
,
e
(
t
)
системы
(27)
при
любом
t
∈
[0
, T
)
справедливы неравенства
(29)
и
(31)–(33).
Следова
-
тельно
,
данное решение ограничено при всех
t
∈
[0
, T
)
и в силу замены
переменных
(26)
решение
x
(
t
)
,
e
(
t
)
системы
(23)
также ограничено на
данном интервале времени
.
Это означает
,
что для любых начальных
условий
x
(0)
любому локально ограниченному возмущению
e
(
t
)
,
ге
-
нерируемому системой
(21)
с управлением
u
=
u
(
x
+
e
)
,
где
u
(
x
)
соот
-
ветствует формулировке теоремы
3,
отвечает локально ограниченное
решение
x
(
t
)
системы
(1) c
управлением
u
=
u
(
x
+
e
)
.
Следователь
-
но
,
решения системы
(1) c
данным управлением
u
=
u
(
x
+
e
)
не могут
неограниченно возрастать за конечное время и для любых начальных
условий
x
(0)
определены при всех
t
≥
0
.
Утверждение
.
Пусть выполнены условия теоремы
3.
Тогда систе
-
ма
(1)
c
управлением
u
=
u
(
x
+
e
)
,
где
u
(
x
)
соответствует фор
-
мулировке теоремы
3,
обладает устойчивостью отображения вход
–
состояние
[18]
по отношению ко входу
е
,
генерируемому системой
(21)
с управлением
u
=
u
(
x
+
e
)
,
т
.
е
.
для любого
x
(0)
и произвольного ре
-
шения
e
(
t
)
системы
(21)
при управлении
u
=
u
(
x
+
e
)
решение
x
(
t
)
системы
(1)
c
управлением
u
=
u
(
x
+
e
)
существует при всех
t
≥
0
и
удовлетворяет неравенству
|
x
(
t
)
−
x
∗
| ≤
β
(
|
x
(0)
−
x
∗
|
, t
) +
α
( sup
0
≤
τ
≤
t
|
e
(
τ
)
|
)
∀
t
≥
0
(34)
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
51
