здесь
n
= (
n
1
, . . . , n
p
)
—
мультииндекс наблюдаемости
[12];
χ
k
=
= (
χ
k
n
1
, . . . , χ
k
n
k
)
т
,
k
= 1
, p
, —
n
k
-
мерные векторы
;
χ
= (
χ
1
, . . . , χ
p
)
т
;
A
k
= (
a
k
ij
)
,
k
= 1
, p
, —
квадратные матрицы порядка
n
k
c
элемента
-
ми
a
k
ij
= 1
,
если
i
−
j
= 1
,
и
a
k
ij
= 0
,
если
i
−
j
6
= 1
.
Отметим
,
что
,
в частности
,
векторные поля
˜
B
j
,
j
= 1
, m
,
в системе
(3)
могут быть
постоянными
.
Если отображение
y
=
H
(
χ
1
n
1
, . . . , χ
p
n
p
)
обратимо
,
т
.
е
.
(
χ
1
n
1
, . . .
. . . , χ
p
n
p
)
т
=
H
−
1
(
y
)
,
то экспоненциальным наблюдателем для систе
-
мы
(3)
является динамическая система
˙ˆ
χ
=
A
ˆ
χ
+
LC
( ˆ
χ
−
χ
) +
ψ
(
χ
1
n
1
, . . . , χ
p
n
p
) +
m
X
j
=1
˜
B
j
(
χ
1
n
1
, . . . , χ
p
n
p
)
u
j
,
(
χ
1
n
1
, . . . , χ
p
n
p
)
т
=
H
−
1
(
y
)
,
(4)
где
C
= (
C
ij
)
,
i
= 1
, p
,
j
= 1
, p
, —
блочная матрица с элемен
-
тами
C
ij
=
C
j
,
C
j
—
матрицы
-
строки длины
n
j
.
Если
i
=
j
,
то
C
j
= (0
, . . . ,
0
,
1)
.
Если
i
6
=
j
,
то
C
ij
=
O
j
,
где
O
j
—
нулевая матрица
-
строка
.
В системе
(4)
матрица
L
размерности
n
×
p
определяет динамику
ошибки оценки состояния
.
Для дальнейших построений в этом случае можно использовать ме
-
тоды
,
применяемые при построении линейных наблюдателей
,
и обес
-
печить экспоненциальное убывание ошибки по крайней мере в кано
-
нических координатах
.
Действительно
,
уравнение ошибки
e
= ˆ
χ
−
χ
оценки наблюдателем
(4)
состояния системы
(3)
при любом
(
но одина
-
ковом
)
управлении в системах
(3), (4)
имеет вид
˙
e
= (
A
+
LC
)
e,
(5)
где матрица
L
коэффициентов усиления наблюдателя выбирается так
,
что матрица
A
+
LC
имеет собственные числа только с отрицательны
-
ми действительными частями
.
Следовательно
,
ошибка оценки состо
-
яния не зависит от управления и экспоненциально стремится к нулю
.
Функция Ляпунова для системы
(5)
имеет следующий вид
[13]:
W
(
e
) =
e
т
P e,
˙
W
(
e
) =
−
e
т
Qe
≤ −
λ
min
(
Q
)
|
e
|
2
,
где
|·|
—
евклидова норма в
R
n
;
матрицы
P
=
P
т
>
0
,
Q
=
Q
т
>
0
удовлетворяют уравнению Ляпунова
(
A
+
LC
)
т
P
+
P
(
A
+
LC
) =
−
Q,
решение которого существует в силу указанного выше выбора спектра
матрицы
A
+
LC
.
Здесь через
λ
min
(
·
)
обозначено минимальное по мо
-
дулю собственное значение матрицы
.
Далее будем также использовать
обозначение
λ
max
(
·
)
для максимального по модулю собственного зна
-
чения матрицы
.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
41
