Наблюдатель для системы
(8)
строится в виде
˙ˆ
x
=
A
ˆ
x
+
L
(
C
ˆ
x
−
y
) +
f
(ˆ
x, u
) +
ρ
(
y, u
)
,
(9)
где
L
∈
R
n
×
p
—
матрица коэффициентов усиления наблюдателя
.
Урав
-
нение ошибки
e
= ˆ
x
−
x
оценки состояния системы
(8)
наблюдате
-
лем
(9)
имеет следующий вид
:
˙
e
= (
A
+
LC
)
e
+ (
f
(
x
+
e, u
)
−
f
(
x, u
))
.
(10)
Построение наблюдателя сводится к поиску матрицы
L
коэффициен
-
тов усиления
,
при которой положение равновесия
e
= 0
системы
(10)
при любом управлении
u
и произвольном решении
x
(
t
)
системы
(8)
с
данным управлением глобально асимптотически устойчиво
.
Известна
следующая теорема
[14].
Теорема
1.
Предположим
,
что при некотором управлении
u
любое
решение
x
(
t
)
системы
(8)
определено при всех
t
≥
0
.
Пусть в наблюда
-
теле
(9)
матрица коэффициентов усиления
L
выбрана таким образом
,
что выполнено неравенство
γ
f
< λ
min
(
Q
)
/
(2
λ
max
(
P
))
,
где
P
и
Q
—
по
-
ложительно определенные симметрические матрицы
,
удовлетворяю
-
щие уравнению Ляпунова
(
A
+
LC
)
т
P
+
P
(
A
+
LC
) =
−
Q.
Тогда поло
-
жение равновесия
e
= 0
системы
(10)
при управлении
u
и произвольном
решении
x
(
t
)
системы
(8)
с данным управлением глобально экспонен
-
циально устойчиво
,
т
.
е
.
существуют такие константы
α >
0
и
β >
0
,
не зависящие от
u
и
x
(
t
)
,
что для всех
t
≥
0
,
e
(0)
выполнено неравен
-
ство
|
e
(
t
)
| ≤
β
|
e
(0)
|
exp(
−
αt
)
.
При доказательстве теоремы
1
в качестве функции Ляпунова для си
-
стемы
(10)
уравнений ошибки оценки состояния рассматривается поло
-
жительно определенная функция
W
(
e
) =
e
т
P e
.
Отметим
,
что теорема
1
позволяет только проверить устойчивость
системы
(10)
при конкретной выбранной матрице
L
и не дает ответа
на вопрос
,
каким образом найти
L
,
так как
,
во
-
первых
,
не существует
явной зависимости между собственными значениями матрицы
A
+
LC
и значением
λ
max
(
P
)
,
а во
-
вторых
,
изменение
λ
max
(
P
)
может быть не
связано с изменениями собственных значений матрицы
A
+
LC
[15].
Численные процедуры нахождения матрицы
L
коэффициентов усиле
-
ния наблюдателя
(9),
обеспечивающей устойчивость положения равно
-
весия системы
(10)
уравнений ошибки оценки состояния
,
рассмотрены
в работах
[15, 16].
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
43
