В случае
,
когда система
(8)
имеет вид
˙
x
=
x
2
x
3
. . . . . .
x
n
a
n
(
x
)
+
b
1
(
x
1
, u
)
b
2
(
x
1
, x
2
, u
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b
n
−
1
(
x
1
, . . . , x
n
−
1
, u
)
b
n
(
x, u
)
=
=
a
(
x
) +
b
(
x, u
)
, y
=
Cx,
(11)
где
С
= (1
,
0
, . . . ,
0)
,
функция
a
n
(
x
)
глобально липшицева
,
а функции
b
i
(
x, u
)
,
i
= 1
, n
,
глобально липшицевы по
x
равномерно по
u
,
глобаль
-
ный экспоненциальный наблюдатель для системы можно представить
в следующем виде
[7]:
˙ˆ
x
=
a
(ˆ
x
) +
b
(ˆ
x, u
)
−
S
−
1
C
т
(
C
ˆ
x
−
y
)
.
(12)
В выражении
(12)
матрица
S >
0
является единственным положи
-
тельно определенным решением матричного уравнения
0 =
−
θS
−
A
т
S
−
SA
+
C
т
C
;
(13)
здесь
θ >
1
—
некоторая положительная константа
[7];
A
= (
a
ij
)
,
i
= 1
, n
,
j
= 1
, n
, —
матрица
c
элементами
a
ij
= 1
,
если
j
−
i
= 1
,
и
a
ij
= 0
,
если
j
−
i
6
= 1
.
Уравнение ошибки
e
= ˆ
x
−
x
оценки состоя
-
ния системы
(11)
наблюдателем
(12)
имеет вид
˙
e
=
Ae
+ Γ(
x,
ˆ
x, u
)
−
S
−
1
C
т
Ce,
(14)
где
Γ
i
(
x,
ˆ
x, u
) =
b
i
(ˆ
x
1
, . . . ,
ˆ
x
i
, u
)
−
b
i
(
x
1
, . . . , x
i
, u
)
,
i
= 1
, n
−
1
,
Γ
n
(
x,
ˆ
x, u
) =
b
n
(ˆ
x, u
)
−
b
n
(
x, u
) +
a
n
(ˆ
x
)
−
a
n
(
x
)
.
Согласно работе
[7]
положение равновесия
e
= 0
системы
(14)
глобально экспонен
-
циально устойчиво при любом управлении
u
,
таком что решения
x
(
t
)
системы
(11)
при данном управлении определены для любых началь
-
ных значений
x
(0)
при всех
t
≥
0
,
и при произвольном решении
x
(
t
)
системы
(11) c
данным управлением
.
Отметим
,
что в качестве функции
Ляпунова для системы
(14)
рассматривается положительно определен
-
ная функция
W
(
e
) =
θe
т
Se
.
В работе
[17]
рассмотрено построение глобальных экспоненциаль
-
ных наблюдателей для нелинейных динамических систем с управлени
-
ем вида
˙
x
=
Ax
+
Gψ
(
Hx
) +
ρ
(
y, u
)
, y
=
Cx
;
(15)
здесь
x
∈
R
n
—
вектор состояния системы
;
A
∈
R
n
×
n
,
G
∈
R
n
×
r
,
H
∈
R
r
×
n
,
C
∈
R
p
×
n
—
постоянные матрицы
;
пара
(
A, C
)
детекти
-
44
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
