Глобальная стабилизация нелинейных динамических систем при экспоненциальной оценке вектора состояния - page 5

Подробно геометрический метод построения наблюдателя для не -
линейных динамических систем без управления рассмотрен в работах
[8–10], а для систем с управлением , например, в работе [12].
Отметим, что глобальность результатов обеспечивается в случае,
когда соответствующие замены переменных определены глобально,
отображение y = H( χ1
n1 , . . . , χp
np ) обратимо во всем пространстве со-
стояний и при некотором управлении u любое решение χ( t) системы (3)
определено при всех t ≥ 0.
Аналогичный подход может быть развит для нелинейных динами -
ческих систем вида (1), не являющихся аффинными по управлению.
Предположим, что существует замена переменных, преобразующая си -
стему (1) к виду
˙ χ = Aχ + ρ( y, u), y = Cχ, (6)
где χ ∈ Rn ; A ∈ R n×n , C ∈ Rp× n — постоянные матрицы; пара ( A, C )
детектируема; ρ(· , ·) — достаточно гладкая функция своих аргументов .
Экспоненциальный наблюдатель для системы (6) имеет вид
˙ˆ
χ = A ˆ χ + LC ( ˆχ − χ) + ρ( y, u), y = Cχ, (7)
где L ∈ Rn× p — матрица коэффициентов усиления наблюдателя .
Уравнение ошибки e = ˆχ − χ оценки наблюдателем (7) состояния
системы (6) при любом (но одинаковом) управлении в системах (6), (7)
имеет вид (5), где матрица L коэффициентов усиления наблюдателя вы-
бирается так, что матрица A + LC имеет собственные числа только с
отрицательными действительными частями.
Другая методика позволяет строить глобальные экспоненциальные
наблюдатели для нелинейных динамических систем вида (1), в правой
части которых помимо нелинейных функций выхода и управления при-
сутствуют равномерно по управлению глобально липшицевые функ-
ции состояния и управления [14–16]. Рассмотрим нелинейную дина-
мическую систему с управлением, имеющую вид
˙ x = Ax + f ( x, u ) + ρ(y, u) , y = Cx; (8)
здесь x ∈ Rn — вектор состояния системы; A ∈ Rn× n , C ∈ Rp ×n —
постоянные матрицы; пара ( A, C ) детектируема; y ∈ Rp — выход си -
стемы; u ∈ Rm — управление; отображения ρ : Rp × Rm → Rn , f : Rn ×
× Rm → Rn локально липшицевы , причем функция f ( x, u) глобально
липшицева по x равномерно по u c константой γf , т.е .
|f ( x1 , u) − f ( x2 , u) | ≤ γf | x1 − x2 |
для любых x1, x2 ∈ Rn.
42 Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. " Естественные науки". 2004. № 2