где
∆(
t
) = diag(
δ
1
(
t
)
, . . . , δ
r
(
t
))
.
С учетом обозначения
η
=
w
−
v
систему
(18)
представим в следующем виде
:
˙
e
= (
A
+
LC
)
e
+
G
∆(
t
)
η, η
= (
H
+
KC
)
e.
(19)
Построение наблюдателя состоит в поиске матриц
K
и
L
коэффи
-
циентов усиления
,
при которых линейная нестационарная система
(19)
глобально асимптотически устойчива
.
Теорема
2
[17].
Предположим
,
что при некотором управлении
u
лю
-
бое решение
x
(
t
)
системы
(15)
определено при всех
t
≥
0
.
Если найдут
-
ся матрица
P
=
P
т
>
0
и константа
ν >
0
такие
,
что
µ
(
A
+
LC
)
т
P
+
P
(
A
+
LC
) +
νI PG
+ (
H
+
KC
)
т
G
т
P
+ (
H
+
KC
)
D
¶
≤
0
,
(20)
где
I
—
единичная матрица
,
D
= diag (
−
2
/b, . . . ,
−
2
/b
)
,
то поло
-
жение равновесия
e
= 0
системы
(19)
при произвольном решении
x
(
t
)
системы
(15)
с данным управлением глобально экспоненциально
устойчиво
,
т
.
е
.
существуют такие константы
α >
0
и
β >
0
,
не
зависящие от
x
(
t
)
,
что для всех
t
≥
0
,
e
(0)
выполнено неравенство
|
e
(
t
)
| ≤
β
|
e
(0)
|
exp(
−
αt
)
.
Отметим
,
что при доказательстве теоремы
2
в качестве функции
Ляпунова для системы
(19)
уравнений ошибки оценки состояния рас
-
сматривается положительно определенная функция
W
(
e
) =
e
т
P e
,
где
P
=
P
т
>
0
удовлетворяет уравнению Ляпунова
(
A
+
LC
)
т
P
+
P
(
A
+
LC
) =
−
νI.
Стабилизация нелинейных динамических систем с использова
-
нием наблюдателей
.
Отметим
,
что в общем случае для нелинейных
динамических систем вида
(1)
глобальный принцип разделения не вы
-
полняется
,
так как решения системы с управлением
u
=
u
(ˆ
x
) =
u
(
x
+
+
e
)
могут неограниченно возрастать за конечное время прежде
,
чем
ошибка
e
= ˆ
x
−
x
оценки состояния системы с помощью наблюдателя
сойдется к нулю
,
даже если система с управлением
u
=
u
(
x
)
глобаль
-
но экспоненциально устойчива
[2, 3].
Таким образом
,
в общем случае
для рассмотренных систем
c
управлением
u
=
u
(ˆ
x
)
не выполняется
условие определенности решений при всех
t
≥
0
.
Рассмотрим ошибку
e
= ˆ
x
−
x
оценки состояния системы с по
-
мощью наблюдателя как возмущение
,
действующее на систему через
управление
u
(ˆ
x
) =
u
(
x
+
e
)
.
Заметим
,
что если для любых начальных
условий
x
(0)
любому локально ограниченному возмущению
e
(
t
)
соот
-
ветствует локально ограниченное решение
x
(
t
)
системы
c
управлением
46
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
