Система массового обслуживания SM/MSP/l/r1 - page 13

Для вектора ~pk , k ≥ 0, стационарных вероятностей по времени по -
лучим
~p0
т =
1
T
∞ X
m=1
~p ∗
1
тGm − 1T ∗
m ,
~pk
т =
1
T
∞ X
m =k
~p ∗
1
тGm −1 T ∗
m− k =
1
T
~p ∗
1
тGk− 1 U, k ≥ 1,
где среднее время T между моментами изменения состояний цепиМар-
кова вычисляется по формуле
T =
∞ Xk =0
~p ∗
k
т~t =
∞ Xk =0
~p ∗
k
т(~b ⊗ ~1l ).
Для преобразований Лапласа –Стилтьеса ω (s ) и ϕ( s) стационарных
распределений W (x) и V (x) — времени ожидания начала обслужива -
ния и времени пребывания в системе произвольной заявки — получим
ω( s) =
∞ Xk=0
~p ∗
1
тGk ( Im ⊗ Φk ( s))~1,
ϕ(s ) =
∞ Xk =0
~p ∗
1
тGk (I m ⊗ Φ k+1 (s ))~1.
Для среднего времени w ожидания начала обслуживания и среднего
времени v пребывания в системе произвольной заявки , принятой к об-
служиванию, для стационарного режима функционирования системы
получим
w = −~p ∗
1
т ∞ Xj =0 Ã ∞ X
k= j +1
Gk ! ¡Im ⊗ (− Λ−1 N )j Λ−1 ¢ ~1 =
= − ~p ∗
1
тG( Id − G) − 1
∞ Xj=0
Gj ¡ Im ⊗ ( −Λ− 1 N ) j Λ− 1 ¢ ~1,
v = −~p ∗
1
т ∞ Xj =0 Ã ∞ Xk= j
Gk ! ¡Im ⊗ ( −Λ− 1N )j Λ− 1¢ ~1 =
= −~p ∗
1
т( Id − G)− 1 ∞ Xj =0
Gj ¡ Im ⊗ (− Λ−1 N )j Λ−1 ¢ ~1.
72 Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. " Естественные науки". 2004. № 2