тельно превышает ее градиент в направлении
,
параллельном поверх
-
ности тела
,
приводит уравнения Навье
–
Стокса к виду
∂u
∂t
+
u
∂u
∂x
+
v
∂u
∂y
=
−
1
ρ
∂p
∂x
+
ν
∂
2
u
∂y
2
, ρ
=
const
,
(4)
∂u
∂x
+
∂v
∂y
= 0
.
(5)
Уравнения
(4)–(5)
называются уравнениями Прандтля для ламинар
-
ного пограничного слоя
[4].
Здесь
u
(
x, y, t
)
и
v
(
x, y, t
)
—
продольная
и поперечная составляющие скорости
,
направленные вдоль осей
Ox
и
Oy
,
которые откладываются параллельно и перпендикулярно поверх
-
ности обтекаемого тела из расположенного на ней начала координат
O
;
ν
—
коэффициент кинематической вязкости
.
На внешней границе
пограничного слоя
u
(
x, y, t
)
переходит в скорость внешнего течения
U
(
x, t
)
,
которая рассматривается как известная функция
.
Поскольку из
-
менение давления
p
поперек пограничного слоя мало
,
его можно опре
-
делить из уравнения Навье
–
Стокса для внешнего течения в направле
-
нии
x
,
где отсутствуют все члены
,
зависящие от вязкости
,
и нет гради
-
ента скорости в направлении
y
:
∂U
∂t
+
U
∂U
∂x
=
−
1
ρ
∂p
∂x
.
(6)
Решение уравнений Прандтля должно удовлетворять краевым усло
-
виям
u
= 0
, v
= 0
при
x
≥
0
, y
= 0
, t
≥
0
,
u
=
U
(
x, t
)
при
x
≥
0
, y
=
∞
, t
≥
0
,
u
=
U
t
(
x, y
)
при
x
≥
0
, y
≥
0
, t
= 0
,
(7)
выражающим соответственно условие прилипания вязкой жидкости к
твердой стенке
,
условие связи с внешним потоком и распределение ско
-
рости в начальный момент времени
[4].
Кроме того
,
в некотором попе
-
речном сечении пограничного слоя
(
x
=
x
0
,
y
≥
0
,
t
≥
0
)
задается
профиль скоростей
u
(
x
0
, y, t
)
.
Если
x
0
= 0
,
началом координат являет
-
ся передняя кромка тела либо критическая точка
u
=
U
0
(
y, t
)
при
x
= 0
, y
≥
0
, t
≥
0
.
(8)
Если скорость внешнего течения зависит и от
x
,
и от
t
(
U
=
U
(
x, t
)
),
то
дифференциальные уравнения пограничного слоя в некоторой области
56 ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
1
