Для указанных в примерах 1 и 2 вероятностных распределений
хорошо известны стандартные нормальные приближения при увели-
чении параметров
E
и
q
соответственно. В общем случае ряд (11),
задающий стационарное распределение, малопригоден для асимпто-
тического исследования. В некоторых работах рассмотрены специаль-
ные функции, соответствующие ряду (11). В частности, в работе [17]
с помощью бесселевых функций и интегральных представлений для
бесселевых функций исследованы стационарные распределения для
марковских процессов на множестве
N
, в том числе соответствующие
ряду (11), и установлена их асимптотическая нормальность.
Прикладной интерес представляет задача о нахождении асимптоти-
ческих приближений для вероятностного распределения (11) в случае
отличия таких приближений от стандартного нормального закона, в
связи с приложениями в теории надежности. Например, в статье [18]
рассмотрены задачи оценки показателей надежности сложных систем
с восстанавливаемыми элементами (среднее время безотказной рабо-
ты) в стационарном режиме при
t
→ ∞
.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Гихман И.И., Скороход А.В.
Введение в теорию случайных процессов. М.: На-
ука, 1977. 568 с.
2.
Севастьянов Б.А.
Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971. 436 с.
3.
Севастьянов Б.А., Калинкин А.В.
Ветвящиеся случайные процессы с взаимо-
действием частиц // Доклады АН СССР. 1982. Т. 264. №2. С. 306–308.
4.
Калинкин А.В.
Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием // Усп.
математ. наук. 2002. Т. 57. № 2. С. 23–84.
5.
Гардинер К.В.
Стохастические методы в естественных науках. М.: Наука, 1986.
526 с.
6.
Anderson W.J.
Continuous-time markov chains: an application-oriented approach.
N.Y.: Springer, 1991. 340 p.
7.
Калинкин А.В.
Типовой расчет по марковским процессам рождения и гибели
квадратичного типа // Всеросс. конф. “Прикладная теория вероятностей и тео-
ретическая информатика”: Труды. М.: Изд-во РУДН, 2012. С. 41–43.
8.
Леонтович М.А.
Основные уравнения кинетической теории газов с точки зрения
теории случайных процессов // Журнал экспериментальной и теоретической
физики. 1935. Т. 5. № 3–4. С. 211–230.
9.
Маслов В.П., Таривердиев С.Э.
Асимптотика уравнений Колмогорова-Феллера
для системы из большого числа частиц // Итоги науки и техники. Сер. Теория
вероятн. Матем. статист. Теоретич. киберн. Т. 19. М.: ВИНИТИ, 1982. С. 85–124.
10.
Чжун Кай Лай.
Однородные цепи Маркова. М.: Наука, 1964. 426 c.
11.
Калинкин А.В.
Стационарное распределение системы взаимодействующих ча-
стиц с дискретными состояниями // Доклады АН СССР. 1983. Т. 268. № 6.
С. 1362–1364.
12.
Николис Г., Пригожин И.
Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир,
1979. 512 с.
13.
Бочаров П.П., Печинкин А.В.
Теория массового обслуживания. М.: Изд-во РУДН,
1995. 529 с.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
15
