r
1
+
. . .
+
r
m
=
n
−
ρ, z
i
= (
z
i
1
, . . . , z
i
r
i
)
т
, η
= (
η
1
, . . . , η
ρ
)
т
;
q
(
z
1
, . . . , z
m
, η
) = (
q
1
(
z
1
, . . . , z
m
, η
)
, . . . , q
ρ
(
z
1
, . . . , z
m
, η
))
т
.
В формулировке теоремы используются векторные поля
F
=
n
X
i
=1
F
i
(
x
)
∂
∂x
i
, G
j
=
n
X
i
=1
G
ji
(
x
)
∂
∂x
i
, j
= 1
, m,
взаимно-однозначно соответствующие системе (1) в пространстве со-
стояний
R
n
, а также векторные поля
ad
0
F
G
j
=
G
j
,
ad
k
F
G
j
= [
F,
ad
k
−
1
F
G
j
]
,
k
= 1
,
2
, . . .
, где
[
X, Y
]
— коммутатор векторных полей
X
и
Y
.
Теорема 1.
Для приведения аффинной системы (1) на множестве
Ω
R
n
к квазиканоническому виду (2) необходимо и достаточно,
чтобы:
1) существовали функции
ϕ
i
(
x
)
2
C
∞
(Ω)
,
i
= 1
, m
, удовлетво-
ряющие в множестве
Ω
системе уравнений в частных производных
первого порядка
ad
k
F
G
j
ϕ
i
(
x
) = 0
, k
= 0
, r
i
−
2
, i, j
= 1
, m, x
2
Ω;
2) существовали такие функции
ϕ
n
−
ρ
+
l
(
x
)
2
C
∞
(Ω)
,
l
= 1
, ρ
, что
для всех
x
2
Ω
G
j
ϕ
n
−
ρ
+
l
(
x
) = 0
, j
= 1
, m, l
= 1
, ρ
и отображение
Φ : Ω
→
Φ(Ω)
, задаваемое системой функций
z
i
k
=
F
k
−
1
ϕ
i
(
x
)
, k
= 1
, r
i
, i
= 1
, m
;
η
l
=
ϕ
n
−
ρ
+
l
(
x
)
, l
= 1
, ρ,
являлось диффеоморфизмом.
В переменных
z
1
,
. . .
,
z
m
,
η
система (1) имеет квазиканонический
вид (2). Если матрица коэффициентов при управлениях в системе (2)
g
(
z
1
, . . . , z
m
, η
) =
g
11
(
z
1
, . . . , z
m
, η
)
. . . g
1
m
(
z
1
, . . . , z
m
, η
)
...
. . .
...
g
m
1
(
z
1
, . . . , z
m
, η
)
. . . g
mm
(
z
1
, . . . , z
m
, η
)
невырождена на множестве
Φ(Ω)
, то систему (2) называют регулярной
на множестве
Φ(Ω)
.
Будем полагать, что система (1) удовлетворяет условиям теоремы 1,
причем
Φ(Ω) =
R
n
. Тогда система (1) преобразуется к эквивалентному
квазиканоническому виду (2), определенному на всем пространстве
состояний, а терминальная задача для системы (1) — в эквивалентную
терминальную задачу для системы (2): найти непрерывные управления
u
1
=
u
1
(
t
)
,
. . .
,
u
m
=
u
m
(
t
)
,
t
2
[0
, t
]
, переводящие систему (2) за
время
t
из начального состояния
Φ(
x
0
) = (
z
1
0
, . . . , z
m
0
, η
0
)
(3)
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 5
