N
1
=
M
−
1
(
A
2
+
KA
3
+
. . .
+
K
r
−
2
A
r
);
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N
r
−
2
=
M
−
1
(
A
r
−
1
+
KA
r
);
N
r
−
1
=
M
−
1
A
r
.
(23)
Примем, что матрицы
N
i
задаются формулами (23). Тогда равенство
(21) преобразуется к виду
˙
W
=
PW
+
R
(
t
)
,
где
R
(
t
) =
−
M
−
1
r
X
i
=1
∂p
∂z
i
d
(
i
−
1)
(
t
)
−
PD
(
t
)
.
В соответствии с условием 3 теоремы, для всех
y
2
R
ρ
выполнено
неравенство
(
Py, y
)
6
λ
k
y
k
2
, поэтому согласно лемме 1 решение
W
(
t
)
задачи Коши
˙
W
=
PW
+
R
(
t
)
, W
(0) = 0
удовлетворяет неравенству
k
W
(
t
)
k
6
e
λt
t
Z
0
k
R
(
t
)
k
e
−
λt
dt.
(24)
Используя неравенство треугольника, условие 3 теоремы и неравен-
ство
0
6
D
(
t
)
6
1
, выполненное при всех
t
2
[0
, t
]
, получаем
k
R
(
t
)
k
=
M
−
1
r
X
i
=1
∂p
∂z
i
d
(
i
−
1)
(
t
) +
PD
(
t
)
6
6
k
M
−
1
k
r
X
i
=1
∂p
∂z
i
|
d
(
i
−
1)
(
t
)
|
+
k
P
k
D
(
t
)
6
6
k
M
−
1
k
r
X
i
=1
ε
|
d
(
i
−
1)
(
t
)
|
+
k
P
k
6
k
M
−
1
k
εL
+
k
P
k
.
С учетом этой оценки и обозначения (16) неравенство (24) преобразу-
ется к виду
k
W
(
t
)
k
6
e
λt
t
Z
0
(
k
M
−
1
k
εL
+
k
P
k
)
e
−
λt
dt
=
γ.
Если
γ <
1
, то
k
v
0
(
c
)
k
=
k
W
(
t
)
k
6
γ <
1
и, следовательно, отображе-
ние
v
является сжимающим. Таким образом, при выполнении условий
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 5
25
