где
b
i
(
t
)
,
d
i
(
t
)
2
C
r
i
([0
, t
])
вектор-функции
b
i
(
t
) = (
b
i
(
t
)
, b
0
i
(
t
)
, . . . , b
(
r
i
−
1)
i
(
t
))
т
удовлетворяют условиям
b
i
(0) =
z
i
0
, b
i
(
t
) =
z
i
, i
= 1
, m,
а вектор-функции
d
i
(
t
) = (
d
i
(
t
)
, d
0
i
(
t
)
, . . . , d
(
r
i
−
1)
i
(
t
))
т
— условиям
d
i
(0) = 0
, d
i
(
t
) = 0
, i
= 1
, m,
(8)
c
i
2
R
необходимо найти.
В качестве функций
b
i
(
t
)
,
i
= 1
, m
, можно взять, например, интер-
поляционные многочлены степеней
2
r
i
−
1
, в качестве функций
d
i
(
t
)
,
i
= 1
, m
, — любые функции, для которых выполняются соотноше-
ния (8). При указанном выборе функций
B
i
(
t
)
условие 1 теоремы 2
выполнено для любых
c
i
2
R
. Числа
c
i
следует подбирать так, что-
бы было выполнено условие 2 теоремы 2. Если существуют такие
числа
c
1
=
c
1
,
. . .
,
c
m
=
c
m
, что решение
η
(
t
)
задачи Коши (5) удо-
влетворяет дополнительному требованию
η
(
t
) =
η
, то для функций
B
i
(
t
) =
b
i
(
t
) +
c
i
d
i
(
t
)
,
i
= 1
, m
, выполнены все условия теоремы 2
и, следовательно, терминальная задача (3), (4) для системы (2) имеет
решение.
Предположим, что
ρ
6
m
. Под нормой векторов из простран-
ства
R
ρ
и
ρ
×
ρ
-матриц будем понимать евклидову норму. Пусть
r
=
= max
{
r
1
, . . . , r
ρ
}
. Для всех пар индексов
l
и
j
таких, что
l
2 {
2
, . . . , r
}
,
j
2 {
1
, . . . , ρ
}
,
l > r
j
, введем формально дополнительные переменные
z
j
l
. Обозначим
z
l
= (
z
1
l
, . . . , z
ρ
l
)
т
,
l
= 1
, r
. Примем по определению,
что, если
l > r
j
, то
∂q
i
/∂z
j
l
= 0
для всех
i
= 1
, ρ
. Обозначим через
∂q/∂z
l
ρ
×
ρ
-матрицы с элементами
∂q
i
/∂z
j
l
,
i, j
= 1
, ρ
.
Независимо от номера
i
зададим функции
d
i
(
t
)
формулой
d
i
(
t
)
≡
d
(
t
) =
t
r
(
t
−
t
)
r
t
Z
0
t
r
(
t
−
t
)
r
dt
.
(9)
Обозначим
L
= max
[0
,t
]
{
d
(
t
) +
|
d
0
(
t
)
|
+
|
d
00
(
t
)
|
+
. . .
+
|
d
(
r
−
1)
(
t
)
|}
.
Докажем следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 1.
Пусть
P
(
t
)
,
R
(
t
)
—
ρ
×
ρ
-матрицы с элементами
P
ij
(
t
)
,
R
ij
(
t
)
2
C
[0
, t
]
, и существует такое число
λ
2
R
, что при всех
y
2
R
ρ
,
t
2
[0
, t
]
, выполнено неравенство
(
P
(
t
)
y, y
)
6
λ
k
y
k
2
.
(10)
20
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 5
