рует, что при
t
2
[0
, t
]
выполнены неравенство
0
6
D
(
t
)
6
1
и равенство
D
(
t
) = 1
. Рассмотрим матричную функцию
W
(
t
) =
D
(
t
)
E
+
r
−
1
X
i
=1
d
(
i
−
1)
(
t
)
N
i
−
M
−
1
ν
(
t
)
,
(19)
где
N
i
—
ρ
×
ρ
-матрицы, которые будут выбраны позднее. Из ра-
венств
D
(0) = 0
,
d
(0) = 0
,
. . .
,
d
(
r
−
2)
(0) = 0
,
ν
(0) = 0
следует, что
W
(0) = 0
, а из равенств
D
(
t
) = 1
,
d
(
t
) = 0
,
. . .
,
d
(
r
−
2)
(
t
) = 0
—
W
(
t
) =
E
−
M
−
1
ν
(
t
)
. Показав, что
k
W
(
t
)
k
6
γ <
1
, тем самым
запишем неравенство
k
v
0
(
c
)
k
6
γ <
1
. Таким образом, докажем, что
отображение
v
является сжимающим. Вычислим
˙
W
с помощью (18):
˙
W
=
d
(
t
)
E
+
r
X
i
=2
d
(
i
−
1)
(
t
)
N
i
−
1
−
M
−
1
˙
ν
=
=
d
(
t
)
E
+
r
X
i
=2
d
(
i
−
1)
(
t
)
N
i
−
1
−
M
−
1
"
Kν
+
r
X
i
=1
A
i
+
∂p
∂z
i
d
(
i
−
1)
(
t
)
#
.
(20)
Учитывая (19), выражаем
ν
(
t
)
через
W
(
t
)
:
ν
(
t
) =
M
D
(
t
)
E
+
r
−
1
X
i
=1
d
(
i
−
1)
(
t
)
N
i
−
W
(
t
)
!
,
подставляем полученное соотношение в (20). В результате имеем ра-
венство
˙
W
=
PW
+ [
E
−
M
−
1
A
1
−
PN
1
]
d
(
t
)+
+
r
−
1
X
i
=2
[
N
i
−
1
−
M
−
1
A
i
−
PN
i
]
d
(
i
−
1)
(
t
)+
+[
N
r
−
1
−
M
−
1
A
r
]
d
(
r
−
1)
(
t
)
−
M
−
1
r
X
i
=1
∂p
∂z
i
d
(
i
−
1)
(
t
)
−
PD
(
t
)
.
(21)
Выберем матрицы
N
1
, . . . , N
r
−
1
из условия
E
−
M
−
1
A
1
−
PN
1
= 0;
N
i
−
1
−
M
−
1
A
i
−
PN
i
= 0
, i
= 2
, r
−
1;
N
r
−
1
−
M
−
1
A
r
= 0
.
(22)
Непосредственной подстановкой показываем, что решением системы
(22) матричных уравнений являются матрицы
24
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 5
