теоремы отображение
v
— сжимающее и имеет неподвижную точку
c
.
При
c
1
=
c
1
,
. . .
,
c
ρ
=
c
ρ
,
c
ρ
+1
= 0
,
. . .
,
c
m
= 0
решение
η
(
t
)
задачи
Коши (5) удовлетворяет условию
η
(
t
) =
η
. Функции
B
1
(
t
) =
b
1
(
t
) +
c
1
d
1
(
t
)
, . . . , B
ρ
(
t
) =
b
ρ
(
t
) +
c
ρ
d
ρ
(
t
)
,
B
ρ
+1
=
b
ρ
+1
(
t
)
, . . . , B
m
(
t
) =
b
m
(
t
)
удовлетворяют всем условиям теоремы 2, поэтому терминальная за-
дача (3), (4) для системы (2) имеет решение.
I
Численная процедура.
Из доказательства теоремы 3 следует ме-
тод построения решения терминальной задачи (3), (4) для системы
(2). Выберем произвольное число
c
(0)
2
R
ρ
и построим последова-
тельность приближений
{
c
(
j
)
}
по правилу
c
(
j
+1)
=
c
(
j
)
−
M
−
1
(Ψ(
c
(
j
)
)
−
η
)
, j
= 0
,
1
, . . .
(25)
Чтобы определить значение
Ψ(
c
(
j
)
)
, необходимо найти решение
η
(
t, c
(
j
)
)
задачи Коши
˙
η
=
q
(
b
1
(
t
) +
c
(
j
)
1
d
1
(
t
)
, . . . , b
ρ
(
t
) +
c
(
j
)
ρ
d
ρ
(
t
)
, b
ρ
+1
(
t
)
, . . . , b
m
(
t
)
, η
);
η
(0) =
η
0
.
Тогда
Ψ(
c
(
j
)
) =
η
(
t , c
(
j
)
)
.
Поскольку отображение
v
— сжимающее, последовательность
{
c
(
j
)
}
сходится к неподвижной точке
c
отображения
v
. При этом
справедлива оценка
k
c
(
j
)
−
c
k
6
γ
j
1
−
γ
k
c
(1)
−
c
(0)
k
.
(26)
Из (25) следует, что
Ψ(
c
(
j
)
)
−
η
=
M
(
c
(
j
+1)
−
c
(
j
)
)
,
поэтому, используя неравенство треугольника и оценку (26), получаем
k
Ψ(
c
(
j
)
)
−
η
k
6
k
M
kk
c
(
j
+1)
−
c
(
j
)
k
=
k
M
kk
c
(
j
+1)
−
c
+
c
−
c
(
j
)
k
6
6
k
M
kk
c
(
j
+1)
−
c
k
+
k
M
kk
c
−
c
(
j
)
k
6
k
M
k
1
−
γ
γ
j
+1
+
γ
j
k
c
(1)
−
c
(0)
k
=
=
(1 +
γ
)
γ
j
1
−
γ
k
M
kk
c
(1)
−
c
(0)
k
.
Выбрав номер
J
из условия
(1 +
γ
)
γ
J
1
−
γ
k
M
kk
c
(1)
−
c
(0)
k
6
σ,
где
σ >
0
— заданная точность, добьемся выполнения неравенства
k
Ψ(
c
(
J
)
)
−
η
k
6
σ.
(27)
26
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 5
