3) существует такое
ε>
0
, что для всех
i
= 1
, r
и
(
z
1
, . . . , z
m
)
2
R
n
−
ρ
выполнены неравенства
k
∂p/∂z
i
k
6
ε
;
4)
λ
— наибольшее собственное число матрицы
(
P
+
P
т
)
/
2
, где
P
=
M
−
1
KM
;
γ
=
(
k
M
−
1
k
εL
+
k
P
k
)
t ,
если
λ
= 0;
(
k
M
−
1
k
εL
+
k
P
k
)
e
λt
−
1
λ
,
если
λ
6
= 0
.
(16)
Если
γ <
1
, то терминальная задача (3), (4) для системы (2) имеет
решение.
J
Примем
c
ρ
+1
=
. . .
=
c
m
= 0
, обозначим через
c
= (
c
1
, . . . , c
ρ
)
т
вектор неизвестных параметров. Тогда задача Коши (5) примет вид
˙
η
=
q
(
b
1
(
t
) +
c
1
d
1
(
t
)
, . . . , b
ρ
(
t
) +
c
ρ
d
ρ
(
t
)
, b
ρ
+1
(
t
)
, . . . , b
m
(
t
)
, η
);
η
(0) =
η
0
.
(17)
Докажем существование такого параметра
c
2
R
ρ
, что решение
η
(
t, c
)
задачи Коши (17) удовлетворяет условию
η
(
t , c
) =
η
. Поскольку
b
i
(
t
)
,
d
i
(
t
)
2
C
r
i
([0
, t
])
,
i
= 1
, m
, и
q
(
z
1
, . . . , z
m
, η
)
2
C
∞
(
R
n
)
, то
вектор-функция
η
(
t, c
)
дифференцируема по параметру
c
, причем ма-
тричная функция
ν
=
∂η/∂c
удовлетворяет системе уравнений [13]:
˙
ν
=
Kν
+
r
X
i
=1
A
i
+
∂p
∂z
i
d
(
i
−
1)
(
t
);
ν
(0) = 0
,
(18)
получающейся в результате дифференцирования системы (17) по па-
раметру
c
.
Введем отображение
Ψ:
R
ρ
→
R
ρ
, которое каждому параметру
c
2
R
ρ
ставит в соответствие значение
η
(
t , c
)
2
R
ρ
решения
η
(
t, c
)
задачи Коши (17) в момент времени
t
. Покажем, что при выпол-
нении условий теоремы существует такой параметр
c
, для которо-
го выполнено равенство
Ψ(
c
) =
η
. Для этого введем отображение
v
:
R
ρ
→
R
ρ
, действующее по правилу
v
(
c
) =
c
−
M
−
1
(Ψ(
c
)
−
η
)
.
Равенство
Ψ(
c
) =
η
эквивалентно тому, что параметр
c
являет-
ся неподвижной точкой отображения
v
. Чтобы доказать существова-
ние у отображения
v
неподвижной точки, докажем, что отображение
v
является сжимающим. Матрица Якоби отображения
v
имеет вид
v
0
(
c
) =
E
−
M
−
1
Ψ
0
(
c
)
, где
E
— единичная
ρ
×
ρ
-матрица;
Ψ
0
(
c
)
— ма-
трица Якоби отображения
Ψ
. Согласно определению отображения
Ψ
,
Ψ
0
(
c
) =
ν
(
t
)
, тогда
v
0
(
c
) =
E
−
M
−
1
ν
(
t
)
.
Обозначим
D
(
t
) =
Z
t
0
d
(
τ
)
dτ
. Выбор функций
d
(
t
)
в виде (9) гаранти-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 5
23
