всех
t
2
(
t
0
;
t
)
выполнено неравенство
V
(
t
)
6
= 0
. На интервале
(
t
0
;
t
)
вычислим и оценим
d
dt
k
V
k
, используя неравенство (14) и неравенство
Коши – Буняковского:
d
dt
k
V
k
=
(
V,
˙
V
)
k
V
k
=
1
k
V
k
[(
Q
(
t
)
V, V
) + (
S
(
t
)
, V
)]
6
6
λ
k
V
k
2
k
V
k
+
S
(
t
)
,
V
k
V
k
6
λ
k
V
k
+
k
S
(
t
)
k
.
Таким образом, на интервале
(
t
0
;
t
)
функция
k
V
(
t
)
k
удовлетворяет
дифференциальному неравенству
d
dt
k
V
k
6
λ
k
V
k
+
k
S
(
t
)
k
.
Решением дифференциального уравнения
˙
v
=
λv
+
k
S
(
t
)
k
с начальным
условием
v
(
t
0
) = 0
является функция
v
(
t
) =
e
λt
t
Z
t
0
k
S
(
τ
)
k
e
−
λτ
dτ,
поэтому при всех
t
2
[
t
0
, t
]
справедливо неравенство [12]:
k
V
(
t
)
k
6
e
λt
t
Z
t
0
k
S
(
τ
)
k
e
−
λτ
dτ
и, следовательно,
k
V
(
t
)
k
6
e
λt
t
Z
t
0
k
S
(
t
)
k
e
−
λt
dt.
(15)
Из неотрицательности подынтегральной функции в правой части
неравенства (15) имеем
t
Z
t
0
k
S
(
t
)
k
e
−
λt
dt
6
t
Z
0
k
S
(
t
)
k
e
−
λt
dt,
с учетом чего из (15) получим неравенство (13).
I
Докажем главный результат.
Теорема 3.
Пусть:
1)
q
(
z
1
, . . . , z
m
, η
) =
r
X
i
=1
A
i
z
i
+
Kη
+
p
(
z
1
, . . . , z
m
)
, где
A
1
,
. . .
,
A
r
,
K
—
ρ
×
ρ
-матрицы;
2) матрица
M
=
A
1
+
KA
2
+
K
2
A
3
+
. . .
+
K
r
−
1
A
r
невырождена;
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 5
