Тогда
ρ
×
ρ
-матрица
W
(
t
)
, являющаяся решением задачи Коши
˙
W
=
P
(
t
)
W
+
R
(
t
)
,
W
(0) = 0
,
(11)
удовлетворяет неравенству
k
W
(
t
)
k
6
e
λt
t
Z
0
k
R
(
t
)
k
e
−
λt
dt.
(12)
J
Обозначим
j
-е столбцы матриц
W
(
t
)
и
R
(
t
)
как
W
j
(
t
)
и
R
j
(
t
)
соответственно. Тогда систему
˙
W
=
P
(
t
)
W
+
R
(
t
)
можно записать в
виде
˙
W
1
˙
W
2
. . .
˙
W
ρ
=
P
(
t
) 0
. . .
0
0
P
(
t
)
. . .
0
...
...
. . .
...
0 0
. . . P
(
t
)
W
1
W
2
. . .
W
ρ
+
R
1
(
t
)
R
2
(
t
)
. . .
R
ρ
(
t
)
.
Обозначим
V
(
t
) =
W
1
(
t
)
W
2
(
t
)
. . .
W
ρ
(
t
)
, Q
(
t
) =
P
(
t
) 0
. . .
0
0
P
(
t
)
. . .
0
...
...
. . .
...
0 0
. . . P
(
t
)
, S
(
t
) =
R
1
(
t
)
R
2
(
t
)
. . .
R
ρ
(
t
)
и запишем задачу Коши (11) в виде
˙
V
=
Q
(
t
)
V
+
S
(
t
)
,
V
(0) = 0
.
Поскольку евклидовы нормы матриц
W
(
t
)
и
R
(
t
)
совпадают с евкли-
довыми нормами векторов
V
(
t
)
и
S
(
t
)
, для доказательства неравенства
(12) достаточно показать, что
k
V
(
t
)
k
6
e
λt
t
Z
0
k
S
(
t
)
k
e
−
λt
dt.
(13)
Из неравенства (10) следует, что для любых
t
2
[0
, t
]
и
V
= (
V
т
1
, . . . , V
т
ρ
)
т
2
R
ρ
2
, где
V
j
2
R
ρ
, справедлива оценка
(
Q
(
t
)
V, V
) = (
P
(
t
)
V
1
, V
1
) +
. . .
+ (
P
(
t
)
V
ρ
, V
ρ
)
6
6
λ
k
V
1
k
2
+
. . .
+
λ
k
V
ρ
k
2
=
λ
k
V
k
2
.
(14)
Используем (14), чтобы доказать неравенство (13). Отметим, если
V
(
t
) = 0
, то
k
V
(
t
)
k
= 0
и справедливость неравенства (13) следует
из неотрицательности его правой части.
Если
V
(
t
)
6
= 0
, то обозначим через
t
0
точную верхнюю грань таких
t
из промежутка
[0;
t
)
, для которых
V
(
t
) = 0
. Тогда
V
(
t
0
) = 0
и для
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 5
21
