уравнения постоянства массового расхода в виде
x
Z
0
1
Z
0
∂ρ
∂t
dy dx
+
1
Z
0
ρ
(
t, x, y
)
u
(
t, x, y
)
dy
= 0;
(13)
y
Z
0
1
Z
0
∂ρ
∂t
dx dy
+
1
Z
0
ρ
(
t, x, y
)
v
(
t, x, y
)
dx
= 0
.
Соответственно разностный аналог уравнения постоянства массового
расхода (13) имеет вид
h
x
h
y
i
X
k
=1
N
y
X
j
=1
∂ρ
∂t
(
n
+1)
kj
+
h
y
N
y
X
j
=1
(
ρu
)
(
n
+1)
ij
= 0
.
(14)
По аналогии с (7) запишем уравнение движения в виде
(
ρu
)
(
n
+1)
ij
−
(
ρu
)
(
n
)
ij
h
t
=
−
∂p
x
∂x
(
n
+1)
i
+
β
ij
.
(15)
Умножая на
h
y
и суммируя по
j
, получаем
1
h
t
h
y
N
y
X
j
=1
(
ρu
)
(
n
+1)
ij
−
h
y
N
y
X
j
=1
(
ρu
)
(
n
)
ij
!
=
−
∂p
x
∂x
(
n
+1)
i
+
h
y
N
y
X
j
=1
β
ij
,
откуда с учетом (14) следует выражение для градиента “одномерного”
слагаемого
p
x
∂p
x
∂x
(
n
+1)
i
=
=
1
h
t
h
x
h
y
i
X
k
=1
N
y
X
j
=1
ρ
(
n
+1)
ij
−
ρ
(
n
)
ij
h
t
+
h
y
N
y
X
j
=1
(
ρu
)
(
n
)
ij
!
+
h
y
N
y
X
j
=1
β
ij
.
Аналогично вычисляются градиенты остальных одномерных слагае-
мых в (1). Далее полученные градиенты рассматриваются как источ-
никовые члены.
Следует отметить, что градиенты «одномерных» слагаемых вычи-
сляются с некоторой погрешностью, которая вызвана использовани-
ем приближения
ρ
(
n
+1)
ij
в уравнении постоянства массового расхода.
Данная погрешность компенсируется при вычислении “многомерно-
го” слагаемого
p
xy
следующим образом:
(
ρ, ε
)
→
уравнение состояния
→
p
→
p
xy
=
p
−
p
x
−
p
y
.
Таким образом, при решении уравнений Навье–Стокса для сжимаемых
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
119
