Background Image
 1 / 12 Next Page
Information
Show Menu
1 / 12 Next Page
Page Background

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 517.946

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ СТРУНЫ

С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ

И.А. Рудаков

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация

e-mail:

rudakov_ia@mail.ru

Рассмотрена задача о периодических по времени решениях квазилинейного вол-

нового уравнения с коэффициентами общего вида, зависящими от перемен-

ной

x

. Доказано существование счетного числа периодических решений в случае

однородных граничных условий Дирихле на отрезке, если нелинейное слагаемое

имеет степенной рост. Доказательство проведено вариационным методом.

Периодические решения являются критическими точками функционала энер-

гии, существование которых доказывается с помощью метода Файрайсла. В

случае, когда нелинейное слагаемое удовлетворяет условию нерезонансности

на бесконечности, приведены формулировка теоремы о существовании и регу-

ляризации по крайней мере одного периодического решения, а также условия,

при которых периодическое решение единственно. Доказательство теоремы

получено с использованием принципа Лере –Шаудера о неподвижной точке и

опирается на ранние работы автора настоящей статьи.

Ключевые слова

:

волновое уравнение, периодические решения, задача Штурма –

Лиувилля, критические точки функционала.

PERIODIC OSCILLATIONS OF AN UNHOMOGENEOUS STRING

WITH FIXED ENDS

I.А. Rudakov

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation

e-mail:

rudakov_ia@mail.ru

The paper considers the problem of time-periodic solutions to the quasi-linear wave

equation with

x

-dependent coefficients of a general form. The author proves the

existence of a denumerable number of periodic solutions, if there are homogeneous

Dirichlet boundary conditions on the segment when the nonlinear term features a

power-law growth. The proof is based on a variational method. Periodic solutions

are energy functional critical points, the existence of which is proved with the help

of the Feireisle method. The author formulates a theorem about the existence and

the regularization of at least one periodic solution in the case when the nonlinear

term satisfies a non-resonance condition at infinity. The author also describes the

conditions under which the periodic solution is unique. The proof of the theorem

is obtained using the Lera – Schauder principle of a fixed point and it is based on

the author’s previous research. Keywords: wave equation, periodic solution, Sturm –

Liouville problem, functional critical point.

Keywords

:

wave equation, periodic solutions, Sturm – Liouville problem, functional

critical points.

Работа выполнена при поддержке гранта Министерства образования и науки

РФ № 1.2640.2014.

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4

3