Background Image
Previous Page  2 / 12 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 2 / 12 Next Page
Page Background

Введение.

Рассмотрим задачу о периодических решениях волно-

вого уравнения

p

(

x

)

u

tt

(

p

(

x

)

u

x

)

x

+

g

(

x, t, u

) = 0

,

0

< x < π, t

R

;

(1)

u

(

x, t

+

T

) =

u

(

x, t

)

,

0

< x < π, t

R

;

(2)

u

(0

, t

) =

u

(

π, t

) = 0

, t

R.

(3)

Функция

p

(

x

)

удовлетворяет следующим условиям:

p

(

x

)

C

2

[0

, π

]

, p

(

x

)

>

0

x

[0

, π

]

.

(4)

Уравнение более общего вида

ρ

(

z

)

u

tt

(

μ

(

z

)

u

z

)

z

+

h

(

z, t, u

) = 0

,

описывающее распространение сейсмических волн, приводится к

уравнению (1) с помощью замены переменной

x

=

z

Z

0

s

ρ

(

s

)

μ

(

s

)

ds

.

Здесь

ρ

(

z

)

— плотность породы;

μ

(

z

)

— коэффициент эластичности;

p

=

ρμ

— акустический импеданс [1].

Введем обозначения:

Ω = [0

, π

]

×

R

\

(

TZ

);

η

p

(

x

) =

1

2

p

00

p

1

4

p

0

p

2

;

B

=

π

Z

0

η

p

(

x

)

dx

;

Z

+

=

N

[

{

0

}

.

Задача о периодических решениях квазилинейного волнового урав-

нения с постоянными коэффициентами исследовалась во многих ра-

ботах, например, [2–7]. Существование периодических по време-

ни решений для волнового уравнения с переменными коэффици-

ентами в случае, когда функция

η

p

(

x

)

сохраняет постоянный знак

η

p

(

x

)

>

0

x

[0

, π

]

было доказано в работах [1, 8–10], для случая

η

p

(

x

)

<

0

x

[0

, π

]

— в работе [11]. В настоящей работе доказано

существование периодических по времени решений задачи (1)–(3) при

условии, когда функция

η

p

(

x

)

может изменять знак на отрезке

[0

, π

]

.

Квазилинейное волновое уравнение.

Предположим, что суще-

ствуют положительные константы

A

1

, A

2

, A

3

, A

4

, r

такие, что при всех

(

x, t, u

)

Ω

×

R

выполнено неравенство

A

3

|

u

|

r

1

A

4

≤ |

g

(

x, t, u

)

| ≤

A

1

|

u

|

r

1

A

2

,

(5)

где

r >

2

,

2

r

A

1

< A

3

A

1

.

(6)

Будем искать периодические решения, для которых период времени

имеет вид

T

= 2

π

b

a

, a, b

N,

НОД

(

a, b

) = 1

.

(7)

4

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4